数学的帰納法はドミノ倒しみたいに、前のものが次のものを証明することの繰り返しで成り立っています。
例えば
n＝1はn＝2を示すために必要
n＝2はn＝3を示すために必要
n＝100はn＝101を示すために必要
でもこれをすべての自然数に対していちいち1個ずつ示すのは無理ですよね
なのでn＝1のときを示したら2以降はn＝kとして表します。(k＝2、3、4、、、、)
ここで、n＝kが成り立つことを示すためにはn＝k－1が成り立たなければなりません。
つまり、n＝k－1が成り立つと仮定してn＝kのときも成り立てばOKじゃん、ということになります。
ただ、n＝k－1が成り立つ時、と書くよりn＝kが成り立つ時と始めた方がキリがいい？ので
n＝kが成り立つと仮定して、次のn＝k+1のときを示す、という方針になってます
ご丁寧にありがとうございます!!
証明でやりたいことはわかったのですが、どうしても「左辺=～」部分の意味がわからないんです😖(A)を変形してなぜ8行目のようになるのかわかりますか？💦
Aと言っても、n＝kのときとn＝k+1の時では違いますよ？
問題文で与えられている式をAとしていますが、それはn＝nの場合です。
①はn＝kのときです。
②左辺＝～の式はn＝k+1のときで、
n＝kの時の式に、2k+1を足せばいいだけです。
※これは公差2の等差数列の和だから2k－1より2大きい2k+1を足す、ということ
それを計算して、(k+1)²になればA(n＝k+1 ver)が成り立つことになるのでOK
ということです
本当にごめんなさい💦
n＝kの時の式に、2k+1を足す理由をさらに噛み砕いて教えてもらえますか？
Aの式は
1+3+5+…+2k－1＝k²です(項数はk個)
n＝1なら1＝1²
n＝2なら1+3＝2²
n＝3なら(1+3)+5＝3²です。
n＝3のときはn＝2のときのものに5(＝3+2)を加えていますね
それと同じです
n＝k+1のときはn＝kのときに1つだけ加えます
それが2k+1(2k－1+2)です
水色部分は単なる計算です！