この問題についてです。（1）はできたのですが（2）がわからなくて。（1）のa

数学

高校生

解決済み

1年以上前

この問題についてです。（1）はできたのですが（2）がわからなくて。（1）のa＜0、0≦a≦2、2＜aの3つの場合分けは納得できるんですが（2）のa＜1、a＝1、1＜aの場合分けがなぜ起こるのか理解ができません。どこから1がきたのか。なぜa＝1で確定するのか等を答えて頂けると助かります。よろしくお願いしますm(_ _)m

B Clear 197qは定数とする。関数 y=x²-2ax+2a² (0≦x≦2) について,次の問い答 (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。 200

はの左 20 とる 1 196 ■■■指針■ 放物線y=-x2+2ax-4a+1は上に凸で,軸は直線x=α である。 α が定義域−1≦x≦2の左外, , 右外である場合で次のように場合分けをする｡ [1] a-1 [2] -1≦a≦2 [3] 2 <a y=-x2+2ax-4a+1 を変形すると y=-(x-a)^+α²-40 +1 この放物線の軸は直線x=α, 頂点は点 (a, a2-4a+1) である。また [1] a <1のとき -1≦x≦2でのグラフは図 [1] の実線部分のようになる。よって, x=-1で最大値6αをとる。 x=-1のとき y=-6a, x=2のとき y=-3 -1 以上から [2] -1≦a≦2のとき -1≦x≦2でのグラフは図 [2] の実線部分のようになる｡ [1] よって、x=αで最大値 α-4a+1 をとる。 [3] 2 <a のとき -1≦x≦2でのグラフは図[3] の実線部分のようになる。よって, x=2で最大値-3をとる。 [2] y1 [3] Oa2 a<-1のとき -1≦a≦2のとき 2 <a のとき yt a OY 197 関数の式を変形すると -1 2 a 0. x=-1で最大値6a x = α で最大値α ² 4a +1 x=2で最大値 -3 y=(x-a)² + a² (0≤x≤2) この関数のグラフの軸は直線x=a (1) [1] <0のとき関数のグラフは図 [1] の実線部分である。よって, yはx=0で最小値 24² をとる。 [2] 0≦a≦2のとき関数のグラフは図 [2] の実線部分である。よって, yはx=αで最小値 α² をとる。 [1] A Ayt [2] 2a²-4a+4 2a² a² a O 2 x [3] 2 <a のとき関数のグラフは図 [3] の実線部分である。よって, yはx=2で最小値 2a2-4a+4をとる。 (2) [1] <1のとき解答編 y1 2a²-4a+4 2a² a² Oa 1 2 x [3] 1 <a のとき関数のグラフは 2a² 2a2-4a+4 [3] 図 [3] の実線部分である。よって, y は x=0で最大値2a2 をとる。 a² [1]~[3] から a<0のとき x=0で最小値 24 ² 0≦a≦2のとき x=α で最小値 α2 2 <a のとき x=2で最小値2a²4a +4 O 2a 24 2a²-4a+4 [3] 関数のグラフは図 [1] の実線部分である。よって, yはx=2で最大値2a²4a+4をとる。 [2] α=1のとき関数のグラフは図 [2] の実線部分である。よって, yはx=0, 2 で最大値2をとる。 [1] [2] y O a 2 21 1 2a² -47 O 1 2 2a²-4a+4 2 a a² O x 142

回答

✨ ベストアンサー ✨

coco

1年以上前

1は定義域の中央値から出てきています。x＝1は定義域の端点であるx＝0とx＝2からちょうど真ん中の等しい距離にあるので、その真ん中がx＝aより右なのか一致しているのか左なのかで３つのパターンに分けられます。そうすることで、x＝0とx＝2のどちらが軸であるx＝aから遠くなり最大値をとるのかを判断できます。分かりにくい説明でもうしわけないです。

くおく 1年以上前

解答ありがとうございました！とても分かりやすい説明でした！それともうひとつ質問したくて、（1）の最小値求める方の問題と場合分けの仕方が違う理由がわからなくて、、同じ定義域を使ってるはずなのに最小値と最大値を求める時で場合分けの仕方が違う理由を教えて頂けたらすごく助かります！もともとの質問に書いておけばよかったですね💦お手数をお掛けしますがよろしくお願いしますm(_ _)m

coco 1年以上前

最小値の場合は軸であるx＝aを定義域がまたいでいるかいないかで考えていきます。
またいでいるときであれば、軸x＝aが最小値を取ることは明らかにわかるかと思います。
またいでいないときは、定義域がx＝aより右にあるか左にあるかで考えます。
つまり定義域は同じでも下に凸のグラフですから、最大値を考えるときは上に開いている部分を考え、最小値を考えるときは凸になっている部分をまたぐかどうかを考えるので場合分けの仕方が変わってきます。