Question

ほの

(2)の(イ)で質問があります。
(n+2)段の階段の登り方を考えるのは、
最初に一段登る時と最初に2段登った時の場合分けをするためですか？
それとも、a[n+2]を表すためですか？

また、赤矢印のところはどういう考え方でしょうか。
よろしくお願いします！

基礎 134 場合の数と漸化式
(1) 5段の階段があり,1回に1段または2段
登るとする.このとき,登り方は何通りある
か.ただし, スタート地点は0段目とよぶこ
とにする. (右図参照)
(2)(1)と同じようにn段の階段を登る方法が
an 通りあるとする. このとき,
(ア) a1,a2 を求めよ.
(イ) n ≧1 のとき, an+2 を An+1, an で表せ .
(ウ) αg を求めよ.
精講
(1) まず,1段,2段, 2段と登る方法と2段, 1段,2段と登る
方法は,異なる登り方であることをわかることが基本です。 次に、
1段を使う方法は5が奇数であることから1回 3回 5回のどれかです.
そこで、1と2をいくつか使って, 和が5になる組合せを考えて, そのあと
入れかえを考えればよいことになります.
(2)(イ)これがこの134 のメインテーマで, 漸化式の有効な利用例です. 考え
方は,ポイントに書いてあるどちらかになります. この問題では,どちらで
も漸化式が作れます.
(ウ) 漸化式が与えられたとき,一般項を求められることは大切ですが,使い
方の基本は番号を下げることです.
解答
(1) 5段の階段を登るとき, 1段登ることは奇数回必要だから,
1段を1回使う組合せは, 1段, 2段 2段
3回使う組合せは, 1段, 1段, 1段2段
5回使う組合せは,1段,1段, 1段,1段1段で
それぞれ,入れかえが3通り、4通り、1通りあるので
3+4+1=8 (通り)
(2) 1段登る方法は1つしかないので, α=1
2段登る方法は、 1段, 1段と, 2段の2通りあるので, a2=2

(イ) 1回の登り方に着目して (n+2) 段の階段を登る方法を考えると次
の2つの場合がある.
40 201
① 最初に1段登って, 残り (n+1) 段登る
最初に2段登って,残りn段登る
①,②は排反で,(n+1) 段登る方法, n段登る方法はそれぞれ
978
an+1 通り, an通りあるので,
an+2=an+1+an
∴. an+2=an+1+an
2
(ウ)(イ)より,
as=ar+a6=(a+α5)+α6
=2a+α5=2(as+a+as
=3a5+2a4=3(a₁ + a3)+2a4
=5a+3a3=5(a3+az) +3a3
7&t=8a3+5a2=8(a₂+a₁)+5a₂ 103
91
209
数学ⅠA 99
ポイント
=13a2+8a=13×2+8×1=34 (通り)
参考
I. (ウ)の要領でα5 を求めると, α5=3a2+2a = 3×2+2=8
(通り) となり, (1) の答と一致します.
ⅡI. 最後の手段に着目するときは,次の2つの場合となります.
①まず (n+1) 段登って, 最後に1段登る
② まずn段登って, 最後に2段登る
195
ポイント 場合の数の問題で漸化式を作るとき,次のどちらか
① 最初の手段で場合分け ② 最後の手段で場合分け
but

数列