Question

らむ

Vpqrsと表すことにする。あたりからわかりません。
例えば、どうしてVodehがOD・OE・OHをかけるだけで出せるのですか？

X140. 空間内の四面体OABC について, OA=4,OB=6, OC = とおく
OA 上の点 D は OD: DA = 1:2 を満たし, 辺 OB 上の点Eは
OE:EB=1:1 を満たし、辺BC上の点F は BF:FC=2:1 を満たすと
する. 3点 D, E, F を通る平面をα とする.
(1)α と辺 AC が交わる点をG とする. a,b,c を用いて OG を表せ.
(2) αと直線 OC が交わる点をHとする. OC : CH を求めよ。
(3) 四面体 OABCをαで2つの立体に分割する. この2つの立体の体積比
を求めよ.
女不岡本海前を書を村ます。
(岐阜大)

140 t,
の結果から,
よって,
DH-OH-OD=2c-a.
3
1→
4
DG-OG-OD-(+)-a-c-15²,
1→
VCFGH
VODEH
... G=-DH.
5
E
EF-OF-OE-(6+2)-226-3²3-6-²1/ 6.
1→
EH-OH-OE-20-16.11>2>0)
15
(4) 5=HO
G
#
EF=EH.
VODEH
HC HF HG
HO HE HD
F
-VOABC,
3
1
VCFGH VODEH
VODEH-VCFGH - VOABC
3
したがって, 求める体積比は,
VOABC :
1→
3
ここで,四面体 PQRS の体積を, VPQRS と表すことにする .
VODEH OD OE OH 1121
VOABC
OA OB OC
(US
4
15
4→
32 1
11
53
1 2 3
2 35
1
5/5 + 1/- VOABC =
53
C-
3130 H (S)
2
4
15
=
VOABC.2
よって,四面体 OABC を平面 α で分割するとき, 0を含む側の立体の体
積は,
>HOY=HO
-30-in
3'
1312
5.
VOABC=4: 11.
-VOABC.
PADO
0:00
41.
N

264 SE
ここで,k=
AG
AH
JA DA
(1) 与条件から、
1→
by_OD=a₁
OE=126₁
OF=
であるから,
の形に一意的に (唯一通りに) 表せます.
【解答】
1-OB+20C
2+1
& DA 2
140.
解法メモ
四面体OABCがある空間内のいかなる点であってもその位置ベクトルは,
DOA+OB+▼OC
X
3
-a+·
x →
1 →>
=-=-=-=-6 +
3
Gは直線AC上ゆえ
Fak) OG=(1-s)a+sč (sl)
2 AG
3 AH
と表せる.
また, G は平面 α (平面 DEF) 上ゆえ,
Y
<k<1.
yz + z
2
2 → A(a)
C.
€ (-1/26 -
-b+
Z
+ 6+
3
-<1.
3 3
2
2
3
OG OD+yOE+zOF (x, y, z 11, x+y+z=1)
D
A.......
6-0 5-5A 8-BA
A4-D-QA
TE
G C() th
F
2
B(6)
CEI
-HAN-DA
DA
H
Ya(DEF)
HA
と表せる.
ここで, d, 6,7は一次独立ゆえ, ①,③の係数を比較して,
UUT
...3
J>x>0 3#
これを②代入して
3
.. x=3-3s,
(2) Hは直線 OC 上ゆえ
+
(3-3s)+(-s)+s=1
3)+(-3).
V
2
1-s
;=1...
(0<s <1 より, G は線分 AC 上)
1→ 4 →
:: OG=a+c
5
と表せる.
(1) と同様の考察により,
U
0=
と表せる.
またHは平面α上ゆえ
OH=uOD+vOE+wOF (u, v, w £HT, u+v+w=1)
4
3
これを④へ代入して
3
0+(-k) +-
2-392 23
2 + 3
S=-
2
+ b+ wc
W
3
OH = kc (k は実数)
k=1.
.. k=2.
y=-s, z=
.. OH=2c.
.. OC CH=1:1.
V W
=0, + -=0,
2 3
.. (u, v, w)=(0, -k,
w)-(0,
3
= 25.
23
-w=k.
3
C
H

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Dylan🍔

四面体（三角すい）の体積比は、
底面積の比と高さの比でも求められます。

OABC で底面を OAB とし、ODEH で底面を ODE とすると、
∠O が共通なので、三角形の面積（sinを使った公式）で考えると、
面積比は２辺の掛け算の比と同じです。
また、OC と OH は同じ直線上にあるので、
この長さの比は高さの比と同じです。

つまり、四面体では
同一平面上に底面を持ち、そこから出る共通辺があれば、
３辺の積の比で体積比がわかるということになります。
解答の図を見て確認してみてください。

らむ

理解できました！ありがとうございます