Question

あるある

写真の解き方を教えてください

11. n3-7n+9 が素数となるような整数をすべて求めよ。
18 京都大
n=-3, 1,2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

n^3-7n+9=n^3-n-6n+9=n(n^2-1)-3(2n-3)
=(n-1)n(n+1)-3(2n-3)･･･①
となり、(n-1)n(n+1)は連続する3つの整数の積なので、3の倍数であるよって(n-1)n(n+1)=3k(kは整数)
とおける。①に代入すると、
n^3-7n+9=3k-3(2n-3)=3(k-2n+3)
k-2n+3は整数なので3(k-2n+3)は3の倍数である。
3の倍数で素数となるのは3しかあり得ないので
n^3-7n+9=3すなわち、n^3-7n+6=0
因数分解すると、(n-1)(n-2)(n+3)=0
よってn=1,2,-3