Question

おにぎり

⑶の解説でTn=の式はどうしてそうなるんですか？

1
B
B7 公差が7の等差数列{an}があり,α5=33 を満たしている。また,公比が正の等比数列
{bn}があり,bı+b2=6,65+66=96 を満たしている。 数列{bn}の初項から第n項までの
和をSとする。
A14
(1) 数列{an}の一般項a,nを用いて表せ。 ams 5-7
(2) 数列{bn}の一般項bn を n を用いて表せ。 また, Sn を n を用いて表せ。
Sn=212-1)
bn=2^
(3) an を3で割った余りを cn (n=1, 2,3,.....) とし, n=21-k) (n=1, 2, 3, ......
k=1
ETUA : AM 3 OR S
とする。 Tn を n を用いて表せ。
(OS TEA)
(配点20)
10k A

B7
解答
(1)
■ 配点
(1) 4点 (2) 7点 (3) 9点
完答への
道のり
等差数列{an}の初項をaとすると, 公差 7, 45 = 33 より
a+4.7 = 33
数列 (20点)
a = 5
したがって、数列{an}の一般項は
an=5+(n-1)・7
=7n-2
公差が7の等差数列{an}があり, as = 33 を満たしている。 また,公比が正の等比数列
{bn}があり, bi+b2=6, bs+b6=96 を満たしている。 数列{bn}の初項から第n項までの
和を S とする。
(1) 数列{an}の一般項α” を n を用いて表せ。
(2) 数列{bn}の一般項bm n を用いて表せ。 また, Sm を n を用いて表せ。
3m
(3) amを3で割った余りをcm (n=1, 2,3,......) とし, T, =(1-cs) Si (n=1,2,3,...)
とする｡ 7" を n を用いて表せ。
①より
r4=16
r>0 より
(2)
等比数列{bn}の初項をb,公比をr (r > 0) とすると, bi+b2 = 6 より
b+br=6
bs+b6 = 96 より
bra +br = 96
r¹(b+br) = 96
①,②を連立させて, b を消去すると
6r496
r=2
等差数列{an}の初項を求めることができた。
B 等差数列{an}の一般項をnを用いて表すことができた。
an=7n-2
6+26=6
b=2
よって, 数列{bn}の一般項は
bn=2.2"-1
= 2"
②
等差数列の一般項
初項a,公差dの等差数列{an}
の一般項α は
an=a+(n-1) d
等比数列の一般項
初項a,公比rの等比数列{an}
一般項 α は
an=arn-1
(r9)²=42, r2>0 より
r2=4=22
r> 0 より r=2

Ď
8
(3)
また
Sn =
完答への
道のり
2 (2"-1)
2-1
=2+1-2
完答への
道のり
等比数列{bn}の初項と公比の連立方程式を導くことができた。
B 等比数列{bn}の初項と公比を求めることができた。
© 等比数列{bn}の一般項をnを用いて表すことができた。
① 和Snを用いて表すことができた。
数列{an} は初項5, 公差7の等差数列であるから
{an} : 5,12, 19, 26, 33, 40,47, ......
数列{cm} を初項から順に書き並べると
(cn): 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, ...
となり,数列{cm} は初項から 2, 0, 1の並びを繰り返す。
1-CSK-S-2+2-1
S3k-
ゆえに, 数列{1-cm} を初項から順に書き並べると
{1-cm}: -1,1,0,-1, 1, 0, -1,
Ltc √ 5₁ 5₂ 5₁ 54 55 56 57
_Tn=-(S+S+S+ ...... + S3-2)+(S2+S+S8+…………+S3n-1)
HOMEMAD
={2,686-2)+1-2}+{234-1)+1−2}
= (234-234-1)
-(8-8)
圏 bm=2", Sm=2"+1−2
=1284
1.8 (8"-1)
2
8-1
4 (8"-1)
7
1.0 -1
San-2 S3n-1 San
49
圏T=
4 (8"-1)
7
等比数列の和
初項a,公比r (r≠1) の等比数
列の初項から第n項までの和を S
とすると
Sn=
a(r"-1) a (1-r)
r-1
1-r
kを自然数とすると
a3k-2=7 (3k-2)-2
=3(7k-6)+2
ask-1=7 (3k-1)—2
= 3(7k-3)
ask=7.3k-2
数列{cm} を求めることができた。
BTnをS" を用いて表すことができた。
C 等比数列の和の公式を用いて, Tm を n を用いて表すことができた。
=3(7k-1)+1
であるから, a を3で割った余り
である数列{cm}は,初項から2, 0,
1の並びを繰り返す。
AS3, S6, S9,
はすべて0である。
., S3 の係数
は実
0
とす
.2-4
>0
走が1
タの