Question

みみ

数３積分の問題です。
この問題は０からπの部分を回転−0からπ/2を回転かと思いました。なぜ指標のようになるのでしょうか。
それともう一つ積分区間の置き換えの方法がわからないです。

***
30 Hy
軸の周りの回転体の体積 (2)
重要 例題 258
●基本257
関数f(x)=sinx (0≦x≦²) について 関数 y=f(x)のグラフとx軸で囲まれ
た部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vは,V=2π xf(x)dx
で与えられることを示せ。 また, この体積を求めよ。
π
₁
解答
指針 高校数学の範囲では, y=sinx をxについて解くことができない。 そこで, 立体の断面積
高校数学の範囲では、y=sinxをxについて解くことができ
をつかみ、置換積分法を利用して解く。
この立体をy軸に垂直な平面で切ったときの断面は, 曲線 y=sinxの
(x≧の部分を回転させた円) (0x部分を回転させた円)
y=sinx (0≦x≦π) のグラフの0≦x≦2の部分のx座
標をxとし,xの部分のx座標をxとする。
V=S₁x²²dy-xSx²dy
このとき,体積Vは
ここで, y=sinx から
積分区間の対応は
x については [1]
x2 については [2]
のようになる。 よって
x=(yの式) に表せない場合
0
dy=cosxdx
[1]
ニール
y 0
x 0
1
π
0
[2]
XC 花→
COS
v=xS²x² codx-FS²x²coxdx=-xx²cos.xdx
π
([x"sinxL-25,xsinxdx)=2x(x/(x)dx
π
2
π
-7/22
0
V=
もも
0
ロ
TC
#1: V=2xxsinxdx=2x-xos x]+Scos xdx)=2x(x+[sinx)=2x²
また
0
$5.1.23
LXXX
ソ
y=sinx
((0≤x≤n)
π
2
TX