Question

大阪

②'からkを消去しようとすると、Y=0、Y≠0で場合分けすると思います。Y=0のとき、②'は2X=0で、X=0になります。ここで①'にY=0、X=0を代入すると、k･0+2･0+2･k=0となり、これを満たすkはすべての実数となると思います。しかし実際は①'からkを消去するやり方で、(X,Y)の除外点を見つけなけれななりません。なぜ②'からだと除外点を求められないんでしょうか。またこの類題を解くとき、2式のどちらからkを消去すれば良いのか判断する基準はありますか?

例題 121 軌跡 [10] ･･･ 2直線の交点の軌跡
☆★☆★★☆
2直線 kx+2y+2k = 0 ... ①, 2x-ky = 0 ... ② がある。 kの値が変化
するとき、この2直線 ①, ② の交点の軌跡を求めよ。
思考プロセス
① 軌跡を求める ①, ② の交点をP(X, Y) とおく。
与えられた条件を式で表す。
③ 2 の式からk を消去して,X,Y の式を導く。
素直に考えると･･･
① ② の交点の座標を実際に求め, k を消去して X, Y の式を導く。
2k²
①, ② を連立すると X =
Y = -
4k
4+k²
4+k²¹
kを消去するのは大変
①,
見方を変える
の交点P
点Pは①, ② 上にある点
JkX+2Y+2k=0\ k を消去して
【2X-kY=0
X, Y の式へ
4 除外点がないか調べる。
« Ro Action 点Pの軌跡は, P(x, y) とおいてx, yの関係式を導け 例題112
解 2直線の交点の座標をP(X,Y) とおくと
JkX +2Y + 2k = 0
...O'
【2X-kY=0
...2'
①'より k(X+2) +2Y = 0
(ア) X キー2 のとき
k = -
2Y
X +2
2Y
2X-
X-(-X ² + ₂ ) · X ·
X+2
中心 (-1, 0), 半径1の円
ただし,点(-2, 0) を除く。
②'に代入すると
X' + 2X + Y' = 0
整理すると
すなわち
(X + 1)2 + Y° = 1 (ただし X ≠ -2)
(イ) X = -2
のとき
⑩'より
Y = 0
一方,X = -2, Y = 0 を②′ に代入すると
2.(-2)-k0= 0
これを満たすんは存在しな
いから, X = -2,
Y = 0 は不適。
(ア), (イ)より、求める軌跡は
.Y = 0
2x-ky=0 kx+2y+2k=0
y
①' ②' から直接kを消
去し, X と Y の関係式を
求める。
X +2が0かどうかで場
合分けする。
分母をはらって
2X(X+2)+2Y² = 0
①' から得られた
X = -2, Y = 0 が ② ′
も満たすか確かめる。
点 (-2, 0) は, (ア)で求め
た円 (x+1)+y°=1 上
の点である。
練習 121 2 直線 x+ky+k=0,kx-y+3=0 がある。 kの値が変化するとき, この
2直線の交点の軌跡を求めよ。
p.244 問題121
特講
2
章
8
軌跡と領域
217

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ケスト

結論から言うと②'からkを消去する方法でも同じ答えが出ます。
まずY≠0の場合は、Y=0となる2点(0,0)と(-2,0)を除いた円が求まります。
次にY=0の場合は、X=0であり、①'に代入すると2k=0となるのでk=0となります。つまり、k=0のときは(X,Y)=(0,0)です。
以上の2つの場合を合わせると、模範回答と同じく(-2,0)を除いた円が得られます。