Question

Σ

なぜ最後の不等式にlimをつけることが出来るのですか？

元気力アップ問題 59
Sn
=
k=1
sin
Sn
極限 lim を求めよ。
n→∞ n
難易度 ★
CHECK 1
CHECK 2
kл
-sin (k+1)x}(n=1,2,3,..)とする。このとき,
2
ヒント! Sn=2(Ik-Ik+1) の形の級数なので、途中の項がすべて消去されて,
k=1
S=L-In+1 となるね。 この後の極限では、はさみ打ちの原理を利用しよう。
解答&解説
Sn = sin
k=1
n
kл
2
kл
2
Sn = 2(Ik-Ik+1)
k=1
sin
Ik=sin とおくと, Ik+1=sin(k+1)
∴. Sn=1-sin-
(k+1))
-17)
2
1
について,
(k+1)となるので,
-
= ( 1₁ − K₂) + ( K₂ - №) + ( № − K4) + ··· + ( № − In +1)
=l-In+1=sin
1. π
2
2
途中がバサバサッと消える!
sin(n+1)x
2
(n+1)...① (n=1,2,3,...) となる。
2
ここで、-1≦sin(n+1)
2
各辺に-1をかけて1をたすと,
≦1より,
(n+1) n
IT
ココがポイント
kл
← k = sin 4 とおくと,
2
CHECK 3
(k+1)л
2
Sn = 2(Ik-1k+1) 2
Ik+1 = sin-
n
k=1
の形の計算だ。
pague
(n+1) T
2
☆ sin
より、
は,nの値
より 0, ±1に変化する
(n+1)л
-1 ≦sin
※≦1の
範囲に必ずあるので、

ここで, -1≦ sin
各辺に-1をかけて1をたすと,
in(n+1)x≦2
S (①より)
0 ≦1-sin
(n+1)=1より,
2
∴
Sn
2
とすると, slim St slim
0 ≦lim
n→∞n
noon
(n+1) π
2
lim" =0である。
noon
1 ≧ sin
2≧1-sin
≧-1
(n+1) T
2
0≦S" ≦2より,各辺をn(0) で割って, n→∞
0
となる。
MO
(答)