Question

あ

(3)が分かりません… 図示の仕方も詳しくお願いします🙏🙏

201
2
原点を中心とする半径2の円をCとし、点 (42)を通り傾きmの直線をしとする。
□(1) C とlが異なる2点で交わるような の値の範囲を求めよ。
□(2) m が(1)で求めた範囲にあるとき､CとLの2つの交点を結ぶ線分の中点の座標を求
めよ。
(口 (3) が (1)で求めた範囲の値をとりながら変化するとき,点Mの軌跡を求めよ。
(「ゼミ」 オリジナル)

2 軌跡
解答の指針
円Cと傾きmの直線の2つの交点を結ぶ線分の中点Mの軌跡を求める問題である。 (1), (2)は
その準備で, (1)では,異なる2点で交わるようなの値の範囲を求めるので, (円の中心と直
線の距離) (円の半径)を利用すればよい。 (2) では、円と直線の方程式から導いたこの2次方
程式の2解が交点のx座標で、中点の座標を m で表すので、 解と係数の関係が利用できる。
m, X,Yの簡単な関係式を見つけ,mの消去を試みる
POINT
(3) では, 中点Mの軌跡を求めるのだから点 M (X,Y) と設定すると, (2) の結果から,X,Yは
の式で表すことができる。 この2式から を消去して X, Y の関係式を求めればよい｡ と
関係式は導くことができない。 このようなときは、2つの式の共通な部分に着目してm, X,Y
ころが、一方の式を m について解いてもう一方の式に代入するというような方法では X,Y の
の間に簡単な関係式が成り立っていないかという観点で式を見てみよう。 ここでは,X=-mY
POINT
という式が成り立つので,この式を使ってm を消去して X, Y の関係式を導くことができる。
軌跡の限界は,消去した文字の範囲から考える
X, Y の関係式が求められても、その式が表す図形全体が軌跡であるとは限らない。 (1)で求め
(「この1題から応用力UP!」参照)
たように中点が存在するときのmの範囲は限られている。 X,Y の関係式を求めるときに消去
した文字の範囲から, 軌跡の限界を求めなければならない。
解答 間違えた原因やどうすれば解けたかを考えながら読もう。 Check
(1)
C:x2+y^2=4 ......①
l:y=m(x-4) +2
Cの中心O (0, 0) ととの距離をdとする。
Cとが異なる2点で交わるので , d<2である。
|-4m+2|
<2 A B
√m² +1
|-4m+2|<2√m²+1
両辺はともに正であるから, 2乗して整理すると,
1-4m+21²<4(m² +1)
3m²4m<0
m(3m-4)<0
0<m <
3
...... 3
·() C
YA
x²+(mx-4m+2)² = 4
(m²+1)x²-4m(2m-1)x+16m²-16m=0
2
Pd
0
-2
も参考にしよう!
12 4
C
A 基礎事項|
2) Cとの交点を P Q とし, P, Qのx座標をそれぞれα, β(a <B)
とする。
② を①に代入して,
......④
α, βは,xについての2次方程式 ④ の異なる2つの実数解である。
解と係数の関係から,
点と直線の距離
点 (x1, y1) と直線
ax+by+c=0の距離dは
ları+by+cl
d
√a² +6²
B 基礎事項!
円と直線の位置関係
半径の円の中心と直線の
距離をdとすると,
d<r ⇔ 異なる2点で交
わる
d=r ⇔ 接する
dr⇔共有点をもたない
考えても
OK
( 2 ) の問題を先に読んでおけば,
2次方程式を導かなければ
ならないことがわかるので､
(1) ④ を求め,この2次方程
式の判別式が正であることか
ら求めてもよい。
ここで.M(X
⑤より、X=
Y=
⑥⑦代
Y
(3)
よって,
(2) より
n
⑧8

1
O₂
よって
ここで, M(X,Y) とする。
⑤より、X=12=2m(2m-1)
m² +1
a+β=
⑥⑦に代入して
Y=m
4m(2m-1)
m² +1
(2)より、X=
振り返り
Check
Y=m(X-4)+2
(ii) m=
[2m (2m-1)
m² +1
2m(2m-1)
m² +1
2m(2m-1)
m² +1
...... ⑨⑧
・・・・・・
5
(1) m/1/2のとき, Y0 なので、
m=_X
Y
⑧⑦ に代入して、
4}+2=
-2(2m-1))
+1
y=-X (X-4)+2
Y=-2(2m-1)
m² +1
D
Y2=-X2+4X+2Y
(X−2)²+(Y−1)² = 5
また、③.⑧より0<x<1/
3
り返り
Check □M の座標をm で表すことができたか
-2(2m-1)
m² +1
G
3
Y>0のとき,X<0, Y> -1x
となる。
(i), (i) より 求める軌跡は,
(.x−2)2+(y-1)²=5
かつx²+y²< 4
を満たす点(x,y) の集合である。
3
Y<0のとき, X> 0, Y <-2X
□m を X,Y の式で表し X, Yだけの関係式を求めることができたか
Pz
MQ
-2a O B
( ) H
C
A
11/1/2のとき,0<m</4/4 を満たしており,X=0.Y=0
C
だから, X=-mY
YA
12
O
(x-2)+(y-1)2=5
-2
240A
x
□mの範囲から軌跡の限界を求めることができたか
昼理事項
2次方程式の解と係数の
関係
2次方程式x+bx+c=0の
2つの解α, β とすると、
a+B=_b
aβ= ==
a'
POINT 1
m, X, Yの簡単な関係
式を見つけ, m の消去を
試みる
X=
2m(2m-1)
m² +1+
-2(2m-1)
Y ==
m² +1
2式をよく見ると X=-mYの
関係があることがわかる。
落とし穴
X=-mY より m=-
して ⑦ または (*) に代入す
れば、 m を消去できるが,
X
m=-=
とできるのは、
m
すなわち21/2のと
きである。 m= 1/2のときは別
に調べなければならない。
G POINT 2
一番と
軌跡の限界は、消去した
文字の範囲から考える
-X (1)で求めた
m=--
0<m < < 1/3に代入することで、
X,Y
の限界
H 表現力!
答えの表し方は,
「(x-2)+(y-1) 5 が表す
10k円のうち
[x<①かつy>12」または
「かつ」または
x=y=0」
としてもよいが, 円
(x-2)+(y-1)^2 = 5と,左の
図の色で塗りつぶした範囲 (境
界線上の点はx=y = 0 だけ含
む) の共通部分は,図の太線部
分であるから、 解答のように
かいた方が簡潔である。