Question

もも氏

整数解を求める方法でこの三つの方法があると思うんですが、どの場合どれを使ったらいいのか見分ける方法はありますか？

460 第8章 整数の性質
例題 253 方程式の整数解 (1)
次の不定方程式の整数解を求めよ.
(1) 2x-3y=21
[考え方
解答
Focus
(②) 2x-38-212550305210形という関係があるに素であることを利用す。
(2) xとyの係数, 539=52×10+19 という関係がある。
(1) 2x-3y=21 より, 2x=3(y+7)
......①
2と3は互いに素であるから, xは3の倍数とな
る.
撥数でかいの
できたら、ユークリットやる
したがって, kを整数として, x=3k とおける .
これを①に代入すると, 2×3k=3(y+7)
2k=y+7 より
y=2k-7
よって, 求める整数解は,
(2) 52x+539y=19
x=3k, y=2k-7 (kは整数)
(別解) 2x-3y=21 より, y=²x-71071081/ete
yは整数より, xは3の倍数となる.
したがって, x=3k (kは整数) とおけ,
y=2k-7
よって,
(2) 539-52x10+19
x=3k, y=2k-7 (kは整数)
bibe
これを与えられた方程式に代入すると,
52x+(52×10+19)y=19
NJIMACARO
倍数となり, んを整数として
整理すると
52(x+10y)=19(1-y) ...... ①
5219は互いに素であるから, x+10yは19の
x+10y=19k, すなわち, x=19k-10y
これを①に代入すると, 52×19k=19(1-y)
52k=1-yより
y=-52k+1
よって, 求める整数解は,
x=539k-10,y=-52k+1 (kは整数)
三習 次の不定方程式の整数解を求めよ.
253 (1) 2x-5y-25
*
(税込)
2000
(2) 48x+491
**
不定方程式 ax+by=c (aとbは互いに素) で,
aまたはbとcが1より大きい公約数をもつとき,
(xの式)=g(yの式) (pとgは互いに素) と変形する
xが3の倍数でないとき
yは整数にならない.
77
xとyの係数の大きい方
の数 539 を小さい方の数
52で割る.
y=-52k+1 より,
x=19k-10y
=19k-10(-52k+1)
=539k-10
181 74-10

例題 254 方程式の整数解(2)
不定方程式 7x-17y=1 の整数解を求めよ.
[考え方
解答
7×5-17×2=1 であるから, 7x-17y=1 を満たす整数
解の1つは, x=5, y=2 である.
そこで,
方程式のx,yに値を代入していき, 方程式を満たす1組の簡単な解 (特殊解) を求める.
本問では,xよりもyの係数の方が大きいので, y=1, 2, 3, ······ を代入していき,x
の値を探すとよい.
7x-17y=1 …①
7×5-17×2=1 ......
②
Focus
として, ①-②より,
したがって,
7(x-5)-17(y-2)=0
7(x-5)=17(y-2) ......
③
ここで 7 17 は互いに素であるから, x-5は17の倍
数となり, kを整数として,
x-5=17k, すなわち, x=17k+5
7×17k=17(y-2)
これを③に代入すると,
3 不定方程式
7k=y-2より, y=7k+2
よって, 求める整数解は,
x=17k+5,y=7k+2(は整数)
与えられた方程式に値を代入していき, 特殊解を求める
注> 特殊解は1つではなく, x=-12, y=-5 などいくつも存在する.
また, x=-12, y=-5 を特殊解とした場合, 一般解は, x=17k-12, y=7k-5 とな
注》次のように求める方法もある。
(1つの文字について解いて, x,yが整数であることを利用する.)
7x-17y=1をxについて解くと、x=17y+1
7
ここで、17y+1_17(y-2)+35-5 +17(y-2)
2-507
7
7
これを①に代入して, x=5+
......
②
17(y-2)
17(y-2)
7
次の不定方程式の整数解を求めよ.
54 (1) 2x+11y=5
**
特殊解を1つ見つけ
て利用する.
x, 5 5は整数より,
も整数で,717 は互いに素であるから, y-2は7の倍
OMEN (PILDRE
CUTE
数,すなわち, y-2=7k(kは整数) とおける .
これを②に代入して, x=17k+5 より 求める一般解は,
x=17k+5,y=7k+2 (kは整数)
(2) 4x+3y=1
461
p.481 17
第8章

例題 255 方程式の整数解(3)
不定方程式 57x+13y=1 の整数解を求めよ。 ◯定武宝不
考え方
解答
例題254のように特殊解を求めたいが,係数が大きいため実際に値を代入して求める
のは困難である.そこで, ユークリッドの互除法を用いて特殊解を求める。
JHON
方程式 57x+13y=1 ･････ ① の係数 57 と 13 について
ユークリッドの互除法を用いる.
57=13×4+5 より
57-13×4=5
13=5×2+3 より
13-5×2=3
5=3×1+2 より,
5-3×1=2
32×1+1 より, 3-2×1=1
⑤④ を代入して、
CO3-(5-3×1)×1=1
して界 3×2-5 ×1=1
これに③を代入して,
( 13-5×2)×2-5 ×1=1
13×2-5×5=1
これに②を代入して,
13×2-(57-13×4)×5=1
したがって, 57×(-5)+ 13×22=1
① - ⑥ より
Focus
これを ⑦ に代入すると,
4
余りが1までやる
x+5=13k, すなわち,
57k=22-y より,
によって、求める一般解は、
3-108210 AST
57(x+5)+13(y-22)=0
57(x+5)=13(22-y)...... ⑦
57 と 13 は互いに素であるから,x+5は13の倍数となる.
したがって, kを整数として
y=-57k+22
resat sat ort
er
.…..6⑥
x=13k-5
57×13k=13(22-y)
x=13k-5,y=-57k+22(kは整数)
有
***
x=-5, y=22 が
①の解の1つ
与えられた方程式の係数が大きい場合は,係数について
ユークリッドの互除法を利用して考える
第8章