Question

ネコ

計算方法を細かく砕いて説明していただけませんか？

NSEMBLE
130
第1章 数列
例題 数列の和 (部分分数分解 )
14
* S = 3 +7+7+11
7･11 11.15
7 いろいろな数列の和
S=
4
(4k-1)(4k+3)=(ts) であるから
-/1/1(133-1/2)+1/(1-1/1)+1/(1-1)
4
1 (4n+3)-3
4 3(4n+3)
1
1
= 7 (3²-42²+3)=
+
4
(4n− 1)(4n+3)
=
15
n
3(4n+3)
を求めよ。
1
-4 ( 1n²-1-4n²+3)
笑
F
例
MAR

Answer 1

きらうる

部分分数分解をします。

1/(4k-1)(4k+3)＝a/(4k-1)+b/(4k+3)
と分解できるとして、右辺を通分すると、
　　　　　　＝{a(4k+3)+b(4k-1)}/(4k-1)(4k+3)
展開して
　　　　　　＝(4ka+3a+4kb-b)/(4k-1)(4k+3)
　　　　　　＝{(a+b)4k+(3a-b)}(4k-1)(4k+3)
恒等式から、
a+b＝0、3a-b＝1なので、a＝1/4、b＝-1/4　より

1/(4k-1)(4k+3)＝1/4{1/(4k-1)-1/(4k+3)}

となりました。ここまでわかりますか。

ネコ

わかります！！

きらうる

解説の2行目からは、k＝1,2…と代入しています。
k＝1のとき、1/4(1/3-1/7)
k＝2のとき、1/4(1/7-1/11)
…
k＝nのとき、1/4(1/(4n-1)-1/(4n+3))
この式のなかで、k＝1のときの-1/7と、k=2のときの+1/7が引いて消えてくれます。んで、これら消える数をすべて消すと
S＝1/4(1/3-1/(4n+3))しか残らないというわけで3行目に式になったのです。
あとは、通分して終わりです。

いかがでしょうか。