Question

リノの鼻嫁

二項定理を使うのがよく分かりません💦

練習
2
nは自然数とする。 5"-1=(4+1)" -1と変形することで, 5"-1 が 4
の倍数であることを,二項定理を利用して証明せよ。

数列 二項定理

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

参考・概略です

証明や説明は、逆に考えていくと道筋が見える場合があります
この場合は、4の倍数にする。･･･4{　}にする、2項定理からと発想し
　2項定理を使い　4{　}を作ろうという感じで

2項定理
(a＋b)^(n)
＝nＣ0･a^(n)＋nＣ1･a^(n-1)･b＋nＣ2･a^(n-2)･b^(2)＋･･･
　＋nＣr･a^(n-r)･b^(r)＋･･･＋nＣ(n-2)･a^(2)･b^(n-2)＋nＣ(n-1)･a･b^(n-1)＋nＣn･b
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5ⁿ－1＝(4＋1)ⁿ－1　とし、a＝4、b＝1　より、2項定理を利用し

　　＝[nＣ₀･4ⁿ＋nＣ₁･4ⁿ⁻¹･1＋nＣ₂･4ⁿ⁻²･1²＋･･･＋nＣ(n-2)･4²･1ⁿ⁻²＋nＣ(n-1)･4･1ⁿ⁻¹＋nＣn･1ⁿ]－1

　　●1の累乗が1であることから

　　＝[nＣ₀･4ⁿ＋nＣ₁･4ⁿ⁻¹＋nＣ₂･4ⁿ⁻²＋･･･＋nＣ(n-2)･4²＋nＣ(n-1)･4＋nＣn]－1

　　●nＣn＝1であることから

　　＝[nＣ₀･4ⁿ＋nＣ₁･4ⁿ⁻¹＋nＣ₂･4ⁿ⁻²＋･･･＋nＣ(n-2)･4²＋nＣ(n-1)･4＋1]－1

　　●[　]を外し整理

　　＝nＣ₀･4ⁿ＋nＣ₁･4ⁿ⁻¹＋nＣ₂･4ⁿ⁻²＋･･･＋nＣ(n-2)･4²＋nＣ(n-1)･4

　　●4でくくり

　　＝4･{nＣ₀･4ⁿ⁻¹＋nＣ₁･4ⁿ⁻²＋nＣ₂･4ⁿ⁻³＋･･･＋nＣ(n-2)･4＋nＣ(n-1)}

　4{　}つまり、4の倍数

後は、不足の用語等を追加・整理し証明としてまとめます。