数学
高校生
解決済み

(2)の[3]についてです。
a/2<2になるのは分かるのですがなぜ0<a/2になるのですか??🙇‍♂️

138 基本例題 81 2次関数の最大・最小 aは正の定数とする。 0≦x≦a における関数f(x)=x²-4x+5について、 問いに答えよ。 (1) 最小値を求めよ。 最大値を求めよ。 指針 区間は 0≦x≦a であるが, 文字 α の値が変わると, 区間の右端が動き, 最大最小 なる場所も変わる。 よって, 区間の位置で場合分けをする。 (1) ソーバ(x)のグラフは下に凸の放物線で、様が区間になれれば頂点で 小となる。ゆえに、軸が区間≦x≦はに含まれるときと含まれないときで場合が |軸 [1] 軸が区間 の外 [3] 軸が区間の 中央より右 ・軸 最大 区間の 中央 (2) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,軸から遠いほどy の値は大きい (右の図を参照)。 よって、 区間 0≦x≦αの両端から軸までの距離が等しくな るような (軸が区間の中央に一致するような) α の値が場合 分けの境目となる。 [4] 軸が区間の 中央に一致 軸 i 1 最小 最大 f(a)=a²-4a+5 [1] [2] 軸が区間 の内 ● 最大 x=0 の距離が等 しいとき。 区間の 中央 f(x)=x²-4x+5=(x-2)+1 解答 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で, 軸は直線x=2 (1)軸 x=2 が 0≦x≦αの範囲に含まれるかどうかで場合 分けをする。 [1] 0<a<2のとき 図 [1] のように,軸 x=2は区 間の右外にあるから, x=aで 最小となる。 最小値は ↑ 最小 軸 最小 ←区間の両端 [5] 軸が区間の から軸まで 中央より左 軸 x= |x=2 小 O GF 軸 [] 最大 区間の 中央 f(x)=x²-4x+22 -2²+5 指針」 軸x=2が区間0 ★の方針 に含まれるかどうかで、 最小となる場所が変わる 区間の右端で最小。
[2] a≧2のとき [2] 図 [2] のように, 軸 x = 2 は区間 に含まれるから, x=2で最小と なる。 最小値は f(2)=1 [1], [2] から 「0<a<2のとき x=αで最小値α²-4a+5 a≧2のとき x=2で最小値1 (2) 区間 0≦x≦a の中央の値は 1/27 である。 [3] [3] 0 << 2 すなわち0<a<4 のとき 図 [3] のように, 軸 x = 2 は区 間の中央より右側にあるから, x=0で最大となる。 最大値は f(0)=5 a [4] =2 すなわちa=4のとき [4] 図 [4] のように, 軸 x=2は区 間の中央と一致するから, x=0, 4で最大となる。 最大値は f(0)=f(4)=5 [3]~[5] から x=0x=2 最大 [5] 2 < 1/27 すなわちa>4のとき [5] 図 [5] のように,軸 x=2 は区 間の中央より左側にあるから, x=αで最大となる。 最大値は f(a)=α²-4a+5 最大 (1) 最小値を求めよ。 x = 0 x=0 軸 軸 =1/12 x=2 x=21 軸 0<a<4のとき x=0で最大値 5 α=4のとき x=0, 4で最大値 5 [a>4のとき x = α で最大値α²-4a+5 最小 x=a x=2x=1/2 x=a ●最大 |x=4 ● 最大 x=a 頂点で最小。 の方針。 a 2 が, 軸x=2に対し左右 どちらにあるかで場合分 けをする。 <指針」 区間 0≦x≦αの中央 x=0の方が軸から遠い。 軸とx=0,αとの距離が 等しい。 x=αの方が軸から遠い。 この問題で求めたf(x) の 最小値・最大値はαの関数 になる。 詳しくは, 解答編 p.70 の検討 参照。 練習 α は正の定数とする。 0≦x≦a における関数f(x)=x²-2x-3について 次の問い 2 81 に答えよ。 (2) 最大値を求めよ。 S p.159 EX 58 3章 10 2次関数の最大・最小と決定

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