Question

いな

(2)の[3]についてです。
a/2<2になるのは分かるのですがなぜ0<a/2になるのですか？？🙇‍♂️

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基本例題 81 2次関数の最大･最小
aは正の定数とする。 0≦x≦a における関数f(x)=x²-4x+5について、
問いに答えよ。
(1) 最小値を求めよ。
最大値を求めよ。
指針 区間は 0≦x≦a であるが, 文字 α の値が変わると, 区間の右端が動き, 最大最小
なる場所も変わる。 よって, 区間の位置で場合分けをする。
(1) ソーバ(x)のグラフは下に凸の放物線で、様が区間になれれば頂点で
小となる。ゆえに、軸が区間≦x≦はに含まれるときと含まれないときで場合が
|軸
[1]
軸が区間
の外
[3] 軸が区間の
中央より右
・軸
最大
区間の
中央
(2) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,軸から遠いほどy
の値は大きい (右の図を参照)。
よって、 区間 0≦x≦αの両端から軸までの距離が等しくな
るような (軸が区間の中央に一致するような) α の値が場合
分けの境目となる。
[4] 軸が区間の
中央に一致
軸
i
1
最小
最大
f(a)=a²-4a+5
[1]
[2]
軸が区間
の内
● 最大
x=0
の距離が等
しいとき。
区間の
中央
f(x)=x²-4x+5=(x-2)+1
解答 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で, 軸は直線x=2
(1)軸 x=2 が 0≦x≦αの範囲に含まれるかどうかで場合
分けをする。
[1] 0<a<2のとき
図 [1] のように,軸 x=2は区
間の右外にあるから, x=aで
最小となる。
最小値は
↑ 最小
軸
最小
←区間の両端 [5] 軸が区間の
から軸まで
中央より左
軸
x=
|x=2
小
O
GF
軸
[] 最大
区間の
中央
f(x)=x²-4x+22
-2²+5
指針」
軸x=2が区間0
★の方針
に含まれるかどうかで､
最小となる場所が変わる
区間の右端で最小。

[2] a≧2のとき
[2]
図 [2] のように, 軸 x = 2 は区間
に含まれるから, x=2で最小と
なる｡
最小値は f(2)=1
[1], [2] から
「0<a<2のとき x=αで最小値α²-4a+5
a≧2のとき
x=2で最小値1
(2) 区間 0≦x≦a の中央の値は 1/27 である。
[3]
[3] 0 << 2 すなわち0<a<4
のとき
図 [3] のように, 軸 x = 2 は区
間の中央より右側にあるから,
x=0で最大となる。
最大値は f(0)=5
a
[4] =2 すなわちa=4のとき [4]
図 [4] のように, 軸 x=2は区
間の中央と一致するから,
x=0, 4で最大となる。
最大値は f(0)=f(4)=5
[3]~[5] から
x=0x=2
最大
[5] 2 < 1/27 すなわちa>4のとき [5]
図 [5] のように,軸 x=2 は区
間の中央より左側にあるから,
x=αで最大となる。
最大値は f(a)=α²-4a+5
最大
(1) 最小値を求めよ。
x = 0
x=0
軸
軸
=1/12 x=2
x=21
軸
0<a<4のとき x=0で最大値 5
α=4のとき
x=0, 4で最大値 5
[a>4のとき
x = α で最大値α²-4a+5
最小
x=a
x=2x=1/2
x=a
●最大
|x=4
● 最大
x=a
頂点で最小。
の方針。
a
2
が, 軸x=2に対し左右
どちらにあるかで場合分
けをする｡
<指針」
区間 0≦x≦αの中央
x=0の方が軸から遠い。
軸とx=0,αとの距離が
等しい。
x=αの方が軸から遠い。
この問題で求めたf(x) の
最小値・最大値はαの関数
になる。 詳しくは, 解答編
p.70 の検討 参照。
練習 α は正の定数とする。 0≦x≦a における関数f(x)=x²-2x-3について 次の問い
2 81 に答えよ。
(2) 最大値を求めよ。
S
p.159 EX 58
3章
10 2次関数の最大・最小と決定

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ばっちちち

問題にaが正の定数だからです