「2次方程式が異なる2つの実数解」=「判別式>0」です
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2k²-4kx+(3-k)=0 が異なる2つの実数解をもつので
判別式(D/4)=(2k)²-(2)(3-k)>0 から
4k²+2k-6>0 を解いて,k<-3/2,1<k
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補足(計算)
(2k)²-(2)(3-k)>0
4k²-6+2k>0
4k²+2k-6>0
2k²+k-3>0
(2k+3)(k-1)>0
k<-3/2,1<k