p<5のときは、p=-1/3,p=0のときを境に、グラフの頂点のとる象限が変わってしまうからです。
頂点が変わると「状況が一変」してしまうので、場合わけが3パターン必要になります。
しかし、p≧5のときは頂点の象限は変わることがなく、「状況が一定」なので1パターンしか出てきません。
f(x)=x^2+2px+p^2-3p-1
⇔ f(x)=(x+p)^2-3p-1
より、y=f(x)の頂点は(-p,-3p-1)となります。この頂点のとる象限が変わると状況が変わる、というのはよろしいでしょうか。
その象限が変わる境目が、それぞれ
-p=0,-3p-1=0
ということになります。なさんが質問で言っている3パターンは、写真の図のような3パターンとは違ってましたか？
頂点のとる象限が変わると状況が変わる、これは分かるのですが象限が変わるのはpが定まっていないから、ということで合っていますか？
象限が変わる境目があることにどうやって気づいたのかと、境目の求め方を教えて頂きたいです
象限が変わるのはpが定まっていないから→そうです。
とりあえず1つ作図をしてみて、pは変数なので頭ん中で増やしたり減らしたりして、状況がどう変化するかを軽くシュミレーションすると気づけます。
境目は図でいうところの、x軸、y軸と交わるところです。
例えば「頂点のx座標」に注目すると、
y軸の右側にあるときは-pが軸の右側に、pはy軸の左側にくるので、xの値の範囲はαの外側に存在するのに対し
y軸の左側にあるときは-pが軸の左側に、pはy軸の右側にくるので、xの値の範囲はβの外側に存在しています。
ここで状況が変わることがわかります。
頂点がy軸の右側にあるとき-pが軸の右側にきたらpはy軸の左側にくる、左側にくるとなぜ分かるのでしょうか？
符号です。
「頂点のy座標」に注目すると、
①x軸の上側に-3p-1があるとき、放物線は解を持たない
②x軸上に-3p-1があるとき、放物線は重解をもつ
③x軸の下側に-3p-1があるとき、放物線は2つの解をもつ
②,③のとき、f(x)>0となるためには、xの範囲は放物線の外側にある必要がありますが、①のときはそのような制約はありません。
②,③のとき、f(x)>0となるためには、xの範囲は放物線の外側にある必要がありますが、①のときはそのような制約はありません。
この最後の文章が全く分かりません。これについて詳しく教えて貰いたいです
y=f(x)>0の条件を満たすのは、青色のエリアで表した部分ですが、
この範囲の中にしかxの範囲は存在できないです。
頂点のy座標がx軸より上にある場合が1つ目、x軸上かそれより下にある場合が2つ目となります。
「xの範囲」とは、回答の一番上にある図の白い太線のところです。
何となくで最後まで解ききることはできたのですが、こういう問題の時にどういう手順で解いたり考えたりするのがいいのか、教えて頂けますか？
問題文を見て、どんな分野で、どんな解法を用いるのかをパッと判断できることが重要です。
今回は、一次関数の「解の配置問題」という分野を応用した問題でした。
解の配置問題は、
①判別式(解が存在するかどうか=頂点のy座標)
②軸の位置 (頂点のx座標)
③端点の位置
の3つの条件により場合分けをします。(①と②は頂点の座標とも置き換えられるので、今回はこれを使いました)
これは教科書の数Ⅰの例題などで解いたことがあると思います。これを繰り返し練習して感覚的に身についていれば、
「3つの条件によりグラフの状況が大きく変わりそうだな、とりあえずグラフを描いてみよう」という発想が出てきます。
数学の問題は、どんなに難しくても、典型問題の組み合わせでしかありません。
1.典型問題の習得→2.組み合わせ方を学ぶ
というプロセスがあるのですが、1ができていないようだと2をいくらやったところで効率が悪くなってしまうので、
まずは教科書の例題だったり、学校で指定されたチャート式やらstep4やらで(なんでもいいですが)典型問題を感覚に落とし込むことが重要だと思います。
p=-1/3とp=0とはどこから出したのでしょうか