(2) の問題は『ある実数x』が存在するようにkの範囲を求めるのです。
『あるx』とは何かというと、数あるxのうち、1つでもこの不等式が成り立てばいいのです。
f(x)＝k(x²+x+1)-(x+1)＞0とすると、f(x)は二次関数になりますね。先ほど書いたように、どこか1つでもこの不等式が成り立てばいいのです。
つまり、下に凸のグラフなら、必ず1つはf(x)＞0の点xが存在します。
下に凸のグラフは、x²の係数がプラスになるので、k＞0という条件が出てくるのです。
ダメなのではなく、下に凸のグラフなら、無条件でf(x)＞0の場所にxが1つ以上存在するんです。
理解できましたでしょうか
下に凸のグラフでf(x)>0の点もf(x)<0の点も両方に存在するのではないのですか？
そうですよ。
最初にも書きましたが、この問題(2)は『あるx』が成立すればいいんです。
何度も書きますが、グラフ上のどこか1点だけでも成立すればいいんです。全部成立しなくていいんですよ。
下に凸のグラフは、上に開いている放物線です。どうにか頑張って、f(x)の値が＋でないグラフをかくことができますか？マイナスしかないグラフを書くことができますか？できませんよね。不可能です。だから、少なくとも必ず1点はf(x)がプラスになる上に凸のグラフは無条件で『あるxにおいてf(x)＞0』になるんです。
範囲が決まってないからグラフを書こうと思ったらx軸より上に点は絶対存在するからマイナスしかないグラフを書くことが出来ない、ということでしょうか？
k(x²+x+1)-(x+1)＞0はそもそも下に凸のグラフを現していますか？
この通りに解いて、最後にk>0と -1/3<k<1 になりました。でも答えが -1/3<k なのはなぜなのでしょうか？
下に凸のグラフじゃないとダメなのでしょうか？