Question

シャイニ－

初めに書いてる
共有点の座標を(x,y)とするとy=f(x)かつy=f^-1(x)
この部分書く意味と必要性はありますか？
個人的には2行目から始めて良いと思ったのですが

168
重要 例題 97 関数とその逆関数のグラフの共有点
|f(x)=x2-2x+k (x≧1) の逆関数をf''(x) とする。 y=f(x)のグラフと
基本
y=f(x)のグラフが異なる2点を共有するとき、定数kの値の範囲を求めよ
指針 逆関数 f''(x) を求め, 方程式f(x)=f'(x) が異なる2つの実数解をもつ条件を考えても
よいが、無理式が出てくるので処理が煩雑になる。ここでは、逆関数の性質を利用して
次のように考えてみよう。
共有点を持つと
f(x)かつf(x)
を満たすと述べ
ているだけ
共有点の座標を(x,y) とすると, y=f(x) かつy=f'(x) である。
ここで, 性質 y=f(x)=x=f(y)
x = f(y) が異なる2つの実数解 (の組) をもつ条件を考える。 x,yの範囲にも注意。
******...
解答
共有点の座標を(x,y) とすると
y=f(x) かつy=f''(x)
y=f'(x) よりx=f(y) であるから、次の連立方程式を考える。
y=f(x)y=x²-2x+k (x≧1)
y=f(x)→x-[(y)>x=y²-2y+k(y≥1)✪
(2)
①-② からy-x=(x+y)(x-y)-2(x-y)
したがって (x-y)(x+y-1)=0
x≧1, y≧1であるから x+y-1≧1
ゆえにx=y
よって, 求める条件は, x=x2-2x+kすなわち x2 - 3x+k=0
がx≧1の異なる2つの実数解をもつことである。
g(x)=x2-3x+hとし, g(x)=0の判別式をDとすると
[1] D> 0 から
(-3)²-4.1.k>0-)-(6-f
よって
9-4k>0
に着目し,連立方程式 y=f(x) ,
ゆえにく
9
4
(3)
6000
[2] 放物線 y=g(x) の軸は直線x=2で,
x=12/23 で 14 12/2 である。
[3] g (1) ≧0 から 12-3・1+k≧0 よって ≧2
9
③,④の共通範囲をとって 25k</ 4
......
[参考] y=x2-2x+kとすると
x2-2x+k-y=0
よってx=±√12-(k-y)
x≧1からx=√y-k+1+1
xとyを入れ替えて,逆関数
はf(x)=√x-k+1+1
A 逆関数f'(x) の値域は、
関数 f(x) の定義域と一致す
るから y≧1
B 放物線とx軸がx≧1の
範囲の異なる2点で交わる条
件と同じ。
YA
+
1
3_2
y=g(x)
検討 y=f(x)のグラフと y=f'(x)のグラフの共有点
y=f(x)のグラフとy=f'(x)のグラフは直線y=xに関して対称であるから、両者のグラフ
に共有点があれば,それは直線y=x 上にあることが予想できる。
しかし,直線 y=x 上だけにあるとは限らない。 例えば, p.166 基本例題 95 (2) の結果から、
y=√-2x+4とy=-1/2x+2(x≧0) は互いに逆関数であるが,この2つの関数のグラフの
有点には,直線y=x上の点以外に,点 (2,0), 点 (0, 2) がある。
基本
(1) f(x)
(ア)(g
練習
a>0とし、f(x)=x-2-1(-2)とする関数y=f(x)のグラフとその逆
④97
4
関数y=f'(x) のグラフが異なる2点を共有するとき, α の値の範囲を求めよ。
Cp. 172 EX74
(2) 2つ
域を求
指針 (1)
(2)
解答
(1) (ア) (
(イ) C
まよ
し
(2) (gof
y=(gc
よって
検討
一般に
つま
ho(g-
ま
944
同様
つま
練習
②98

Answer 1

sea:)

書かないとそれ以降に出て来るx,yが共有点の座標としてではなく、関数のxとして見られてしまうと思います。

わかりやすくするなら回答の「共有点を(x,y)とする〜」を「共有点を(s,t)とする〜」として後に出てくるxとyをそれぞれsとtに変えてみてください

シャイニ－

もし、x,yを共有点と考えると
y=f^-1(x),x=f(y) これは成り立たない気がするのですがそこら辺はどういった考えなのか教えて欲しいです

sea:)

ただ逆関数にしてるだけでy=f(x)の式変形してるだけなので成り立ちますね

シャイニ－

すみません、今言われたことあまり理解できてないのですが、
例えば共有点(t,s)とすると
s=f(t)かつ　s=f^-1(t) となり
s=f^-1(t) より　t=f(s) この変形って出来るのですか？

sea:)

すいません、これややこしいですね
2行目は一般的な性質としての変形なので、x,yは一般的なやつです。
2行目以外は共有点のx,yですね