Question

奏音

数Ⅲ 媒介変数表示　　青チャ

下の写真の青マーカーのところがわかりません。
なぜ、どこからこの式が出てきたのでしょう？

あと、マーカー引き忘れて申し訳ないのですが、その下のxとyを0とそれぞれ置く理由も知りたいです

教えていただきたいです。よろしくお願いします

基本例題 74 媒介変数表示と最大・最小
x²
000
=1 (0<b<a) の第1象限の部分上にある点Pにおける楕円の法線
が,x軸,y軸と交わる点をそれぞれ Q R とする。 このとき, △OQR (Oは原点)
の面積Sのとりうる値の範囲を求めよ。
[類 立命館大]
楕円
指針 点Pにおける法線は, 点Pを通り, 点Pにおける接線に垂直な直線である。 そこで まず
点Pの座標を媒介変数 0 で表し, 点Pにおける接線の方程式を求める。
また, 点Pは第1象限の点であるから, 媒介変数の値の範囲に注意して △OQRの面
積Sのとりうる値の範囲を考える。
解答
条件から,P(acos0, bsine) (0<< 2 ) と表される。
acos o
bsino
a²
(bcos/)x+(asin0)y=ab
点Pにおける接線の方程式は
すなわち
① に垂直な直線は, (asin)x- (bcos0)y=c (cは定数)
と表される。(*) これが点Pを通るとき
よって, 点Pにおける法線の方程式は
x=
c=asin0•acos o-bcos0・bsin 0
=(a²-62) sinocoso
a²-6²
a
(asin0) x- (bcos0)y=(a²-b^)sin0coso
② において, y=0, x=0 とそれぞれおくことにより
-cos 0, y=-
*cos0>0,
+x.
ゆえにQ(a-b cose, 0), R (0,
b cose,
a²-b²
b
a²-b²
b
ここで, 0<b<α, sin> 0, cos0 >0 より
a²-6²
a
6² y=1
sin0
o), R(0, -a²-b² sine)
b
******
S=1/1OQ･OR
(a²-6²)²
*sin 0 cos0=
2ab
0<0</1より、0<20<πであるから
(a²-b²)²
したがって 0<S≤
4ab
-sin0 <0であるから
1 a²-b²
a²-b²
b
2 a
cos g
(a²-b²)²
Aab
-sin0
-sin20
0 < sin20≦1
p.129 基本事項 [②]
b
Posinor
0
◄b² <a²
OR=
RI
- b
P
QVa
(*) 2直線px+qy+r= 0,
qx-py+y=0 は互いに垂
直である。
なお, 点 (x1,y) を通り,
直線 px+qy+r=0 に垂直
な直線の方程式は
q(x-x)-p(y-y)=0
このことを用いて②を導
いてもよい。
<sin 0 cos0=
acoso
a²-b² sine
b
ぎ
sin20
2
20= すなわち04
ときSは最大となる。
3
2章
1 媒介変数表示
10

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かきつばた

青の1つ上の式にPの座標を代入したんだな

0を代入したのはQとRを求める時に0代入しないかんから

奏音

なるほど、ありがとうございます！