Question

りゅう

一枚目の黄色の文が理解できません
これを読んでもなぜこの解法を使うのかまだわかってないです、

264番の解法が2枚目，3枚目です！

教えてほしいです

点
積を
州大]
30,210
ま
と
る求
る。
例題221
つの放物線を C:y=(x-1)2, C2:y=x2-6x+5 とする。
2つの放物線と共通接線で囲まれた部分の面積
とC2の両方に接する直線ℓの方程式を求めよ。
GC と C, および直線とで囲まれる部分の面積を求めよ。
((2)
OLUTION
CHART
曲線と接 接点のx座標が yi-y=0 の重解･･････
y=(x-1)2 から
y'=2(x-1)
よって, C上の点(a, (a-1)2) における接線の方程式は
(1) 2つの放物線の共通接線の求め方は, p.264 重要例題 177 のようにいろいろ
な方針が考えられるが,ここでは、面積の定積分を計算するときに2つの接点
のx座標が必要となるから、2つの曲線の接線が一致する,と考える。
(2) 被積分関数が (x-α) の形で表されることに注意 (p.320 基本例題 213 参照)。
......]
y-(a-1)=2(a-1)(x-α)
y'=2x-6
y=x2-6x+5から
よって、C2 上の点(6,52-66+5) における接線の方程式は
y-(b²-6b+5)=(26-6)(x−b)
直線①②が一致するための条件は
2(a-1)=26-6- ③ かつ - d² +1 = -62+5
④ に代入して
すなわちy=2(a-1)x-d+1
3
すなわちy=(26-6) x-62+5
③ から a=6-2
よって
6=2
このとき
① から 求める直線l の方程式は
0とC2の交点のx座標は (x-1)=x²-6x+5 の解
であるから
J-2
x=1
ゆえに 求める面積をSとすると右の図から
S=S'{(x− 1)²−(−2x+1)}dx_
)}dx
重要 177. 基本 213
a=2-2=0
y=-2x+1
-(b-2)2+1=-62+5
+S}{x²−6x+5−(−2x+1)}dx X
=Sx³dx + S²(x − 2) ³dx = [*²] + [(x −²””]
......
2
329
0
|_Y = (1-1) C₂)
C:y=x2-6x+15 とする。
XY
7章
25
^y=x²-bres

264
0000
共通接線
重要 例題
177
■ 基本 174,176
曲線 G.Sex, G:y=-x+2x-1 の両方に接する直線の方程式を求
めよ。
CHART
2曲線
方針①
OLUTION
Cz: y=g(x) の両方に接する直線
C1:y=f(x),
C上の点 (a, f(a)) における接線の方程式を
求め,この直線が C2 に接すると考える。
方針① y=x² から
y'=2x
よって、C上の点A(a, α2) における
接線の方程式は
接する⇔D=0 ......
方針②C上の点 (a, f(a)) における接線と C2 上の
点(b, g(b)) における接線の方程式をそれぞ
れ求め,これらが一致すると考える。
y=mx+n とy=m'x+n' が一致
⇒ m=m'′ かつ n = n'
方針③ 求める直線の方程式を y=mx+n とおいて, この直線が Ci, C2 に接
すると考える。
2曲線と接する⇔ Di=0 かつ D2=0
なお,この直線を2曲線の共通接線という。
y-a²=2a(x-a)
すなわち y=2ax-a²
Takk afl
直線 ① が C2 に接するための条件は
yを消去した2次方程式
yA
2a²-2a=0
2a(a-1)=0
=x2+2x-1=2ax-q²
すなわち x2+2(a-1)x-α²+1=0
が重解をもつことである。
ゆえに,この2次方程式の判別式をDとすると
D_=(a−1)²-(-a²+1)=2a²-2a
ID = 0 から
すなわち
これを解いて a=0, 1
① から, 求める直線の方程式は
a=0 のとき
y = 0,
a=1のとき
y=2x-1
1
当①をしょの式に代入して
y=f(x)
接する
/y=g(x)
接する
共通接線
指しているから、判別式D:0で求める。
③から
④に代入して
b(b
よって
②から求め
b00
y=f(x) 上の点
(a, f(a)) における接線
の方程式は
y-a=f'(a)(x-a)
上の点(
方針 求める
程式を
放物線と直線が接する
⇔ 重解をもつ
⇔ 判別式 D=0
b=11
この2次方
ⅠD=0 から
同様に
inf. グラフをかくと､直
線 y=0(x軸)が共通接
線となることはすぐにわか
る。
すなわち
この2
ID=0
0+2
よって
①か
J
UINE
共通
20

式を求
174,176
✓
接する
■通接線
に接
1
ける接線
-a)
接する
0
方針②(方針①と5行目までは同じ)
Ax+2x-1 から
y'=-2x+2
C上の点(b, 62+26-1)における接線の方程式は
y−(−b²+2b−1)=(−2b+2)(x−b)
y=(-26+2)x+62-1
すなわち
直線①②が一致するための条件は
20=25+2
③かつ
2.0) (3 +
==+1
④に代入して
b (b-1)=0
よって
② から、求める直線の方程式は
b=0 のとき
y=2x-1,
−(−b+1)²=b²−1()))
ゆえに b=0, 1
b=1のとき
y = 0
方針 求める直線でx軸に垂直であるものはないから、その
万程式をy=mx+n とおく。 y=x2と連立して
x=mx+n すなわち x-mx-n=0
この2次方程式の判別式を D とすると
よって
①から
D=(-m)²-4(-n)=m²+4n
m²+4n=0
ID=0 から
・①
同様に, y=-x+2x-1 と連立して
a=b²-1.
PH - @tph
=x2+2x-1=mx+n
すなわち
x2+(m-2)x+n+1=0
この2次方程式の判別式を D2 とすると
D2= (m-2)2-4(n+1)
Ⅱ D2=0 から
(m-2)²-4n-4=0
①+② から m²+(m-2²-4=0
2m(m-2)=0
m=0のとき
m=2 のとき
よって、求める直線の方程式は
y=0, y=2x-1
INFORMATION
ゆえに
n=0,
n=-1
2
m=0, 2
y=f(x) 上の点
(a, f(a)) における接
の方程式は
y-a=f'(a)(x-a)
係数を比較。
αを消去。
23
-6²³+26-1=6²-1
⇔ 26²-26=0
「m²+4m
4-4n=①② 2n²-
mm
inf. 方針③は、与え
た曲線が両方とも2次
のグラフである場合に
られる解法｡
◆放物線と直線が接
⇒ 重解をもつ
⇔ 判別式 D=0
m²
共通接線を求める方法は解答のようにいろいろな方針が考えられるが, 与え
つの関数が
nを消去
12m²4m=0

Answer 1

Ryosuke

定積分するには積分変数の積分範囲が必要であることはわかりますよね？

その積分範囲、この問題でいうx座標は、２つの曲線と共通接線の接点（交点）であると考えて積分範囲を求めようという旨を伝える文だと思います。