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収束列 {An} の極限値が一つしかない理由は、極限値が存在するということは、その値に非常に近い値を取る項が列の中に必ず存在するということです。つまり、もし仮に2つの異なる極限値が存在した場合、そのうちの少なくとも一方に非常に近い値を取る項が列の中に必ず存在します。しかし、これは {An} が収束列であることに反します。つまり、収束列には一つしか極限値が存在しないということが数学的に証明されています。
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なるほどです！初めて知りました！ありがとうございます！