Question

あなた

(1)はどういうことですか？
問題の時点で何を言っているのか分かりません。

8章 整数の性質
例題
考え方
解
****
自然数kを2の累乗と奇数の積として, k=2m (aは累乗の指数,
は奇数)と表すとき, f(k)=α と定める.
Sm=f(1)+f(2)+f(3)+..+f(n) とするとき, 次の問いに答えよ.
262 ガウス記号の利用
(1) Sso を求めよ.
(2) nが2の累乗のときSをnの式で表せ.
(3)
n-1
-≦Sn<nであることを示せ.
2
(1)を素因数分解したときに2をいくつ因数にもつか考える」を
ガウス記号を用いると表現が楽になる.
(2), (3), 1+r+²+ ······ + p²-1 _ 1 − p " (r≠1)
1-r
を利用する. (数学Bの数列」で学習する。 注参照)
(1) Sso は 1から50までの自然数を素因数分解したときの
素因数2の個数の総和である.
すなわち, 50! の中に含まれる素因数2の個数である.
よって, Sso=
>=[2]+[2]+[2]+[2]+[5]
50
=25+12+6+3+1=47
(2) n=2' とすると,
Sn=
sn = [2]+[29][2]+[27]
+......+
==2'-'+22+..+2+1
=1-22=2^-1=n-1
2²-
DTS IN
1.0 1, 2, ….., 2-2, 2-1 は、
m
(群馬大)
18+d=[2]=x
(3) S=
-=[ 2 ] + [ 2 ] + [ 2 ] +++ ( 2 )] (2¹≤n<2¹+¹)=x+
+......+
(n: 偶数)
n-1(n:奇数)
よって, nが偶数 奇数いずれの場合でも,
Sn²
OFESPAI ER
TAS
初項1,公比2の等比
数列 (項数 1 )
(数学Bで学習する。)
Flocus
262
5段目
4段目
3段目
2段目
1段目
またSo- [金]+[2] + + [2] (22)
S=
≤12+2/2+
=(2+1/+2/
1
1800
n
2
........ ◯
2²
2
= 22-2 (1-12/7)
注 r≠1 のとき,
+22
+.
**** =n(1-2)<n $550
したがって
よって, ①
素因数の個数
[注 (1) のイメージは次の通りである。 (0
Sn<n...... ②
② より
O
+••••••+
O O
·· + 2 ² - 1)
)n-1
ガウス記号で表現せよ!
n=¹ ≤S₂ <n
2
O O O O O O O O
〇〇
3 整数の性質の活用
O
O
O
O O O
0 ② ④ 6⑧ 10 12 14 16 18 20
1段目の○の個数は、2の倍数の個数
30 32 34
50÷2=25
2段目の○の個数は、22の倍数の個数 50÷2212･････ 2
...... 2
3段目の○の個数は 23の倍数の個数 50236
4段目の○の個数は2の倍数の個数 50÷2=3….. 2
5段目の○の個数は、25の倍数の個数 50÷2=1･････ 18
したがって, S=12となる。
S=1+r+r°+..+yn-1
-) rS= r+p² + ...... +p²-² + pr
(1-r) S=1-yn
[x]≦x
→この合計が S50
+ oooo
48.50
n! に含まれる素因数の個数は, [n]+[7]+[7] ++ [7] (個)であ
[
=0
[]=000
このとき、m≧k となるすべてのmについて
る.ただし,
である. このことを利用して, 10! を素因数分解せよ.
463
8
整数の性質

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Snomono

今回の問題は自然数を2の累乗と残りの奇数の積で表しています。2が素数であることを考えるとaには合成数がくるということになります。Snを考える時はf(n)の総和をかんがえます。fnは2の累乗の指数部分を表しているので、自然数が2で何回割り切れるかということになります。よって1番の問題では1から50までの自然数の積を2で何回割り切れるかという問題と同じ意味になります。
実際、聞かれていることがわからなくなったら数字を具体的に決めて実際に手を動かして見るといいでしょう。

あなた

f(k)=aはkが任意の自然数の時にaに何が入るかを表しているということですか？

あなた

k=10=2^1×5
f(k)=aで
f(10)=1ということ

Snomono

その通りですね。Snというようになると自然数1からnまでの数でそれぞれ素因数分解した時の2の累乗も和となるので、先に述べた通りの問題の意味と同じになるということです

あなた

こういうことですか？

Snomono

間違ってはいませんが、ガウス記号を使う意味はその問題の解答右側にある注1を一般化しています。詳しくはルジャンドルの公式を調べてみるといいかもですね

あなた

ありがとうございます！