初歩的な質問ですいません

数学

高校生

解決済み

約1年前

初歩的な質問ですいません
この問題の(１)で、双曲線と直線の公転の座標をtで表すことが、何故双曲線を媒介変数表示したと言えるのですか？この直線はどんな直線、または曲線などでも良いのでしょうか？

変数表示 3700000 (1) 双曲線x-y2=1と直線y=-x+tとの交点を考えて, この双曲線を媒介変数 tを用いて表せ。 (2) t を媒介変数とする。x=3 形を表すか。 J= 3 1+t2 指針(1) x,yをtで表すために、2つの方程式をx,yの連立方程式とみる。 3t 1+t2 ここで,交点が存在するためには, 双曲線の漸近線の1つが直線y=-x であることから直線y=-x+tでt=0 となることも必要。 (2) x= からtをxで表して, yの式に代入するのでは大変。ここでは, =tx とみることがポイント。 =t• ...... 3 1+t2 解答 (1) x2-y2=1 ②を①に代入して整理すると双曲線と直線の交点が存在するためにはゆえに t2+1 2t x=- ①, y=-x+t これを②に代入して Toat t2+1 2t ①. 1+t²⁹ y= y=- したがって x= 3 2) x=- 1+t ①を②に代入して y=tx y= 9 y=- 3t 1+t² これを①に代入して整理すると x=0であるから ③ に x=0を代入すると ...... t2+1 2t t²-1 2t 2tx=t2+1 x2+y²-3x=0 3t 1+t2 ② とする｡ +t= ...... で表された曲線はどのような図 ■p.134 基本事項 ① t=0(*) j t²-1 2t ・②とする。 ①より, x=0であるから t=2 (Onia(d+) x x(x2+y2-3x)=0 y=-x AY (x,y) ① (K,x)=TO (6-YA)=50 y 3-2 O 0 (*) 2tx=t2+1 で t=0 とすると 0=1 となり,矛盾が生じることから, t≠ 0 を導いてもよい｡ 3 N/W 32/2 y=x ---- (x,y) 135 IRO y=tx_ 3x y=0 3 9 よって,円(x-212) 2+y=1/27 の点(0, 0) を除いた部分。例題(1)では、双曲線の番近線に平行な直線y=-xtf(t0) と双曲線は交点を1つだけも

回答

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ぺんぎん

約1年前

＿①、媒介変数の大きな目的に、x，y，を、媒介変数の関数にする、と、いう事が有ります。
＿②、双曲線と、言うのは、図形であって、x²-y²=1は、関係式であって、関数ではありません。
＿③、関数とは、y=f(x) の関数を考える時、1つの x に対して、唯1つの y が定まる時に、関数と言えるのでしたよね？双曲線は、殆どの数値 x に対して、1つの x に対して2つの y が有りますので、関数ではありません。
＿④、関数ではない、と言うことは、(その儘では)微分とかが出来ないのです。(計算自体は出来る場合も多いですが、微分が出来る事を原理的に証明出来ないのです。)
＿⑤、双曲線を、原点Oの周りに、45°回転させると、反比例となります。反比例は関数です。
＿⑥、ですから、双曲線の場合は、傾き1、又は、傾き -1 の直線(比例)の式を媒介変数とする事が多いのです。
＿⑦、x，y，を、媒介変数の関数とする事が目的である場合が多いのです。
＿⑧、同様に、円も、関数ではなく、関係式てすね？ですから、媒介変数の関数とする為に、三角関数で置き換えるのです。それによって、関数化するのです。

＿基本的には、x，y，を、関数化出来ないものでは、置き換えません。

ぺんぎん約1年前

＿媒介変数に置き換える時、詰まり、今回で言えば、変数 t を変化させた時に、xy 平面図で、唯(ただ)一点で交わらなければ、媒介変数表示した、といは言えません。
＿「どんな直線、または曲線などでも良いのでしょうか？」→どんな直線・曲線でも良いわけてはありません。　
＿媒介変数に置き換える時、詰まり、今回で言えば、変数 t を変化させた時に、xy 平面図で、唯(ただ)一点で交わる条件を満たすのならば、直線でも曲線でも、何でも良いのです。