数学
高校生

初歩的な質問ですいません
この問題の(1)で、双曲線と直線の公転の座標をtで表すことが、何故双曲線を媒介変数表示したと言えるのですか?この直線はどんな直線、または曲線などでも良いのでしょうか?

変数表示 3700000 (1) 双曲線x-y2=1と直線y=-x+tとの交点を考えて, この双曲線を媒介変 数 tを用いて表せ。 (2) t を媒介変数とする。x=3 形を表すか。 J= 3 1+t2 指針(1) x,yをtで表すために、2つの方程式をx,yの連立方程式とみる。 3t 1+t2 ここで,交点が存在するためには, 双曲線の漸近線の1つが直線y=-x であることか ら直線y=-x+tでt=0 となることも必要。 (2) x= からtをxで表して, yの式に代入するのでは大変。 ここでは, =tx とみることがポイント。 =t• ...... 3 1+t2 解答 (1) x2-y2=1 ②を①に代入して整理すると 双曲線と直線の交点が存在するためには ゆえに t2+1 2t x=- ①, y=-x+t これを②に代入して Toat t2+1 2t ①. 1+t²⁹ y= y=- したがって x= 3 2) x=- 1+t ①を②に代入して y=tx y= 9 y=- 3t 1+t² これを①に代入して整理すると x=0であるから ③ に x=0を代入すると ...... t2+1 2t t²-1 2t 2tx=t2+1 x2+y²-3x=0 3t 1+t2 ② とする。 +t= ...... で表された曲線はどのような図 ■p.134 基本事項 ① t=0(*) j t²-1 2t ・②とする。 ①より, x=0であるから t=2 (Onia(d+) x x(x2+y2-3x)=0 y=-x AY (x,y) ① (K,x)=TO (6-YA)=50 y 3-2 O 0 (*) 2tx=t2+1 で t=0 とす ると 0=1 となり,矛盾が生 じることから, t≠ 0 を導いて もよい。 3 N/W 32/2 y=x ---- (x,y) 135 IRO y=tx_ 3x y=0 3 9 よって,円(x-212) 2+y=1/27 の点(0, 0) を除いた部分。 例題(1)では、双曲線の番近線に平行な直線y=-xtf(t0) と双曲線は交点を1つだけも

回答

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_①、媒介変数の大きな目的に、x,y,を、媒介変数の関数にする、と、いう事が有ります。
_②、双曲線と、言うのは、図形であって、x²-y²=1は、関係式であって、関数ではありません。
_③、関数とは、y=f(x) の関数を考える時、1つの x に対して、唯1つの y が定まる時に、関数と言えるのでしたよね?双曲線は、殆どの数値 x に対して、1つの x に対して2つの y が有りますので、関数ではありません。
_④、関数ではない、と言うことは、(その儘では)微分とかが出来ないのです。(計算自体は出来る場合も多いですが、微分が出来る事を原理的に証明出来ないのです。)
_⑤、双曲線を、原点Oの周りに、45°回転させると、反比例となります。反比例は関数です。
_⑥、ですから、双曲線の場合は、傾き1、又は、傾き -1 の直線(比例)の式を媒介変数とする事が多いのです。
_⑦、x,y,を、媒介変数の関数とする事が目的である場合が多いのです。
_⑧、同様に、円も、関数ではなく、関係式てすね?ですから、媒介変数の関数とする為に、三角関数で置き換えるのです。それによって、関数化するのです。

_基本的には、x,y,を、関数化出来ないものでは、置き換えません。

ぺんぎん

_媒介変数に置き換える時、詰まり、今回で言えば、変数 t を変化させた時に、xy 平面図で、唯(ただ)一点で交わらなければ、媒介変数表示した、といは言えません。
_「どんな直線、または曲線などでも良いのでしょうか?」→どんな直線・曲線でも良いわけてはありません。 
_媒介変数に置き換える時、詰まり、今回で言えば、変数 t を変化させた時に、xy 平面図で、唯(ただ)一点で交わる条件を満たすのならば、直線でも曲線でも、何でも良いのです。

ぺんぎん

_①〜⑧、の、何番から分からないの?

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回答

交点は必ず双曲線上にありますよね。
つまり、直線を任意に動かしてその交点を全てプロットすると、その図形は双曲線になります。

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