150 第2章 式と曲線
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双曲線の決定
例題60
(1) 双曲線 9x²-4y²=36 をx軸方向に2,y 軸方向に1だけ平行移
動した双曲線の方程式を求めよ.
3
(2) 2直線y=±1/1 x を漸近線にもち,2点F (5,0), F^(-5,0)を焦点
とする双曲線の方程式を求めよ.
(3) 2直線 y=±2x を漸近線にもち, 点 (3, 0) を通る双曲線の方程式
(愛知教育大)
を求めよ.また, 焦点の座標を求めよ.
考え方 (2) (3) 双曲線の方程式を求めるときは、 焦点や頂点の位置を考える.
原点Oを中心とし, 焦点, 頂点がx軸上 →
x2 y²
Q2 62
原点Oを中心とし, 焦点,頂点がy軸上
とおく.さらに, その他の条件からa,bの値を求める.
解答 (1) 9(x-2)²-4(y+1)^=36
よって,
(x-2)² (y+1)^
4
9
(2) 焦点が (5,0), (-5, 0) より 求める双曲線の方程式
x²
-=1 (a>0, b>0)
とおける.
3
漸近線の傾きが 土 1 だから,
b 3
より, 3a =46 ..... ①
a 4
また, 焦点の座標が 5,0),(50) だから,
√a²+b²=5
α²+b2=25.②
① ② より,
よって、求める方程式
16 9
-=1
-=1
²=16,62=9
A
|x, yにx-2,y+1
を代入する.
概形は下の図
4y
*₂
-10.
焦点がx軸上にある
ので,右辺は-1で
はなく1である.
漸近線の傾きは,
土
b
a
焦点の座標は,
(√²+62,0)
(-√a²+ b², 0)
a> 0, b>0 より
=4,b=3
82
練習
60
1 放物線 楕円 双曲線
(3) 双曲線の中心が原点であり, 双曲線がx軸上の点を漸近線の交点
通るから、求める双曲線の方程式は,
x2y2
²=1 (a>0, b>0)
とおける.
点 (3, 0) を通るので,
したがって, a>0 より ,
漸近線の傾きが±2 だから,
①より, b=6
-=1
9
よって,求める双曲線の方程式は、 ー06
また,√32+62=3√5より、焦点の座標は,
(3√5, 0), (-3√/5, 0)
(3)
3
y4
6
例題60(2),(3)の双曲線の方程式を図形的に求めると,次のようになる.
(2)
√a²+ b²=5
6_3
a 4
y=2
Ol 45x
0
42
y=-
6
3
4x
ly=2x
3 x
32
q²=1
y=-2x
a=3 .... ①
b
a
-=2
より, ²=16,62=9
よって,
x2y2
16
19
より
b
13/13 =
-=2
b=6
よって、
より、
-=1
9 36=1
点(30) は求める双
曲線の頂点だから、
焦点はx軸上にある.
y4
-31 0
=1
151
13
x
第2
(1) 双曲線x-y2=1をx軸方向に-4だけ平行移動した双曲線の方程式
求めよ.
(2) 2直線y=±1/13 x を漸近線にもち,2点 (0,1),(0,-1)を頂点とする声
線の方程式を求めよ.
ありがとうございます！