Question

イズ

（3）についてなぜ以下のことからCA＝CBが導けるのかわかりません。α＝βの記述があれば角の二等分線の定理とわかるのですが今回はないので…。ぜひ教えて欲しいです。

基礎問
△
59 平面幾何 (ⅡI)
△ABCの辺AB, ACの中点をそれぞれ D, E とし, BE, CD
の交点をGとする.4点D, B,C,Eが同一円周上にあるとき
次のことを証明せよ.
(1) AB=AC
(2) 2∠ABG=∠BAE のとき,
∠BAG = ∠ABG
V (3) (2)のとき, △ABCは正三角形.
精講
B
D
(1) 円周角の性質から等しい角が何組かありそうです.また,中点
連結定理より, BC // DE だから,等しい角が何組かありそうです
(錯角,同位角). だから, 直接のねらいは AB=AC ではなく
G
∠ABC=∠ACB になりそうです. つまり,結論が長さであっても,角に注目
する, ということです.
(2) (1)より, △ABC は AB = AC をみたす二等辺三角形です。
また,Gは△ABCの重心 (51) だから,直線AGは辺BCの垂直2等分
線. よって, ∠BAG =∠CAG です.
(3)(1)より,△ABC はすでに二等辺三角形であることが確定しているので
あと何がいえればよいか考えます. たとえば,
① <BAC=∠ABC ( ∠BAC=∠ACB) (2) AB=BC (AC=BC)
解答
(1) ∠DBE=α, ∠EBC =β とおくと,
∠DBC=α+β
また,円周角の性質より,
<DCE=∠DBE=α, ∠EDC=∠EBC=β
次に,中点連結定理より DE // BC だから,
∠EDC=∠DCB=β ( 錯角)
∠ECB=∠DCE + ∠DCB = α+ β
よって,∠DBC=∠ ECB, すなわち, ∠ABC=∠ACB
wa
B
B
E
B
E

ゆえに, AB=AC
MA
(2)∠BAC=2∠ABG=2a
また, △ABC は AB = AC をみたす二等辺
三角形で,点Gは△ABCの重心.
よって,直線AGは辺BCの垂直2等分線.
∠BAG=∠CAG=α
..
∠ABG =α だから.
∠BAG =∠ABG
(3) (2)より △AGB は AG = BG をみたす
二等辺三角形で,DがABの中点だから、
<GDA=∠GDB=90°
B
A
-
D
a
よって, △ABC において, CD⊥AB
ゆえに、△ABC は CA=CB をみたす二等辺三角形.
AB=BC=CA だから, △ABCは正三角形,
EN 103
D
E
第3章

平面幾何 正三角形

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

🍇こつぶ🐡

角から下ろした線とぶつかった辺の角が90°で、そのぶつかった辺のそれぞれが中点になる。よって、3辺が等しい。だから、CA＝CB🙇

イズ

ありがとうございます！

🍇こつぶ🐡

いえいえ🙇