Question

スミ

数列の極限の問題です。
(3)について、P2(n-1)をP1(n-1)に直さずに計算することは可能でしょうか？
できたらその計算方法を教えていただきたいです。宜しくお願い致します。

18 2014 年度 数学
3. 四角形ABCD の異なる2つの頂点に玉が1個ずつ置かれている。以下の手順で玉を動か
す操作を1回の操作とし､ それを繰り返す。 ただし、 四角形の頂点は反時計回りにABCD
の順番で並んでいるとする。
1. 置かれている2個の玉から無作為に1個の玉を選択する。
2. 選択した玉の置かれた頂点に隣接する2つの頂点のうち,反時計回りの方向にある頂
点が他方の玉に占有されていない場合には確率pでその頂点に玉を進め、その頂点が
既に他方の玉に占有されている場合には玉は動かさない。
この操作により得られる玉の配置について、以下の問いに答えよ。
16.0
(1) 次の確率を求めよ。
(a)頂点AとCに玉が置かれているとき、1回の操作の後に2個の玉が隣り合う確率
-61 (a) THE A
(b)頂点AとCに玉が置かれているとき, 1回の操作の後に玉の配置が変わらない
Uits
確率
(c) 頂点AとBに玉が置かれているとき, 1回の操作の後に2個の玉が隣り合わない
確率
(d)頂点AとBに玉が置かれているとき, 1回の操作の後に玉の配置が変わらない
確率
8
441
(2) 最初に頂点AとCに玉が置かれているとき, 7回 (n ≧1) の操作の後に2個の玉が
Jak
Take to
隣り合わない確率を Pi (n), 隣り合う確率をP2(n) とする。 Pi (n) および P2(n) を
Pi(n-1) と P2 (n-1) で表せ。
(3) 極限値 lim Pi(n) および lim P2(n) を求めよ。
n→∞
n→∞

(1) の結果から、隣り合わない2個の玉が、次の操作で隣り合う確率、隣
(2)
り合わない確率は,それぞれか, 1-p であり、隣り合う2個の玉が、 次の
操作で隣り合う確率、隣り合わない確率は、それぞれ1-1/23.12/23である。
よって, n ≧1 において (普)
RAS
したがって
P₁(n)=(1-p) P₁(n-1)+¹/2 pP₂(n−1)
P₂(n)=pP₁(n-1)+(1-12p) P₂ (n-1)
ただし, P1(0)=1, P2(0)=0である。
有s Pi(n)+P(n)=1(=0. 1. 2....) である。 これと(2)の結果から
OBS
1
P₁(n)=(1−p)P₁(n−1) + Þ{1-P₁(n-1)}
=(1-2/21) P(n-1)+1/20
P₁(n) - 3 -(1-3 p) {P₁(n-1)-}-}
数列{P(n)-1/3} は初項 P.(0)-1-2 A
3 公比1-プ
3
ら
2
Pi(n)-3-3 (1-3p) (-1)
P₁(n)-
1 2
‥. Pi
P(x) = + (1-P)*
3
3
liml
1400
ここで、より12/1
≤1
=
3
2
2014年度 数学 〈解答≫
n
=
-
€9012020
2P 360
3
2/ps1であるから
≤1-
[1(1-23-1 すなわちゅー0のとき)
p=1
3
(-1/2/3)
-lim(1-
n→∞0
49
lensie
の等比数列だか
よって
En/P(62) --- (1-20)-3 (0-²1)
n
lim P₁
1100
3
(0<p≤1)
2
1 すなわち0<1のとき

数3 数列 極限