Question

jpgamw

(2)は|xy|<1になぜなりますか？
また3行目からなぜそうなるか分かりません。
教えて下さい🙇よろしくお願いします☀️
すみません。ベストアンサーや返信は明日の夜になります。

研究例題13 不等式の証明
□(1)|x|<1,|y|<1のとき, 不等式 xy+1>x+y が成り立つことを証明せ
よ。
□(2)
不等式 xyz+2>x+y+z が成り立つ
|x|<1,|y|<1,|z|<1のとき,
ことを証明せよ。
考え方 (2) (1)で証明した不等式を利用する。-2<x-10-2<y-1<0
証明 (1) |x|<1,|y|<1 より, -1<x<1, -1<y<1
xy+1-(x+y)=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)
x-1<0, y-1<0より, (x-1)(y-1)>0
xy +1>x+y
よって,
(2) |x|<1,|y|<1 より,
|xy|<1
これと |z|<1 より (1) の結果を用いて,
xyz+1=(xy)z+1>(xy)+z
これより,
ここで,(1)より,xy+1>x+y であるから、
(xy+1)+2>x+y+z
xyz+2=(xyz+1)+1>(xy+z)+1=(xy+1)+z
よって,
xyz +2>x+y+z

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

るに

│x│<1のとき、-1<x<1なので、
具体的な数で考えると、
0.9×0.9=0.91、1/2×1/2=1/4 となり、

-1<x<1の範囲の数同士をかけても1を超えることがなく、
yも同様に、-1<y<1となるので、
│xy│<1

3行目は、│x│<1、│xy│<1であることから、
(1)のxをxy、yをzと置き換えて考える。

4行目は、求めるものが不等式なので、3行目の式を使えるように変形した。

5~7行目は、x+y+zを求めたいので、(1)で求めた式に両辺zを足して不等式が成り立つことを示している。

8行目は、xyz+2>(xy+z)+1>x+y+z

jpgamw

こちらも回答ありがとうございます。
だんだんと成り立つように少しずつ変形して求めていたのですね！
勉強になりました！！
ありがとうございました。