Question

ゆき

この問題の解き方が分かりません💦
教えてください🙇‍♀️

問3. aを定数とする。 実数xについての関数f(x),g(x) を
f(x) = - x2 + ax + a - 2
g(x)=x2-(a-2)x
とするとき
(キ)
-
すべてのxの値に対して f(x) <g(x) が成立するαの値の範囲は,
<a<√
である。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

数学にわか

こんにちは！
簡単な解説を添付いたしましたのでご確認ください。
分からない部分、読めない部分等ありましたら遠慮なく仰ってください🙇‍♂️

この問題はf(x)<g(x)をg(x)-f(x)>0と変形して考えます(分かりやすいようにh(x)と置いています)。そして全てのx においてh(x)>0となるということは、h(x)の中で一番小さい値、つまりh(x)の頂点のy座標が0より大きい必要があります！
したがって平方完成をしてaの範囲を求めるわけです！

別解として、判別式を用いる方法もあります。あまり計算量は変わらないので、ゆきさんの好きな方法で解くと良いと思います！もし判別式を用いた解法が知りたければ仰ってください！

ゆき

ありがとうございます！
判別式の方法も是非教えて頂きたいです🙇‍♀️

数学にわか

判別式の解放を添付しました！

途中までは全く同じです。
h(x)>0となるにはh(x)＝0が解を持たない、つまり判別式D<0となる必要があります(今回はD/4を使用しています)。

あとは落ちついて式変形することができれば解くことができます！

(解いてて思いましたが、こちらの方が楽かもしれないです、、💦　すみません🙇‍♂️)

ゆき

わかりやすいです！ありがとうございます🙇‍♀️
参考になります🙇‍♀️

数学にわか

こちらこそありがとうございます！
お力になれて良かったです✨