Question

キバゴ

線形代数の以下の問題が分かりません💦回答も載っていないので解説お願いしますm(_ _)m
Aを２次正方行列とする。E+A、E-Aがともに逆行列を持たなければA²=Eであることを示せ。

Answer 1

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Crystal Clear

E+Aが逆行列をもたない
⇔det(E+A)=0
⇔det[A-(-E)]=0
⇔Aの固有方程式det[A-(λE)]=0が解λ=-1をもつ

E-Aが逆行列をもたない
⇔det(E-A)=0
⇔det[A-E]=0
⇔Aの固有方程式det[A-(λE)]=0が解λ=1をもつ

Aは2次正方行列であるから、固有値は上のλ=1とλ=-1の2つである。
対応する固有ベクトルを順にx1,x2とし、正方行列P=(x1 x2)を定義する。
x1,x2は異なる固有値に対応する固有ベクトルで1次独立だからPは逆行列をもち、Pを用いてAは対角化できる。
A=P diag(1,-1)P^(-1)
A^2=P (diag(1,-1))^2 P^(-1)=PEP^(-1)=E

固有値 固有ベクトル

キバゴ

ありがとうございます🥹🥹🥹