Question

ハルミン

数列の極限の極限の求め方が分かりません。

(1) 数列{an} を an =
1
n(n+1)(n+2)(n+3)
n
Sn=ak とおく。 このとき, Sm の極限を求めよ。
k=1
3
無限級数 10g102 + log102+log10g
n+1
(2)
+
+ log10
n
の収束・発散を調べて, 収束するときはその和を求めよ。
(n = 1,2,3,…) により定め、
4
......
・+

無限級数 無限級数の和の求め方 数列の極限

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

数学にわか

初めまして。
簡単な解答を添付いたしましたのでご確認ください。
分からない部分、読めない部分等ありましたら遠慮なく仰ってください。

これらの問題には部分分数分解が大きく関わってきます。逆に言えば、部分分数分解を理解していれば類題も同様にして解くことができますので、しっかりと理解しておくべきだと思います。

部分分数分解そのものの説明に関しては私がするよりネットの記事を参照したほうが早く、分かりやすいと思うので割愛します。一応、以下に部分分数分解に関する記事のリンクを１つ貼っておくので、良ければ参考にしてみてください。
https://rikeilabo.com/fractional-sequence

ハルミン

最初の部分分数分解の途中式をできるだけ詳しくお願いします

数学にわか

(1)の部分分数分解の式変形をを少し詳しく記載したものを添付しました。

部分分数分解を上手く行うと、「符号だけが違う同じ数式の塊」が何個も出てきます。しかし符号が違うので、それらは打ち消しあって0になってしまいます。それが連鎖的に起こることで、最終的に同じものが現れない一番最初と一番最後、今回の場合は1/(1×2×3)と−{1/(n＋1)(n＋2)(n＋3)}のみが残ります(それ以外の部分は全て0になってしまいます)。

(2)も同様に行えます。

ハルミン

3分の1の導き方教えて欲しいです
何度もすみません💦

数学にわか

画像を添付いたしましたのでご確認ください。

部分分数分解をする上でよくあるのが、「変形前と後で値が同じにならない」状態です。
安直に変形してみて、例えば今回のように値が3倍になってしまったら、最初から1/3倍しておくことで変形前と値を同じにするというやり方です。

注意しなければならないのは、「全ての項で同じ数をかけなければならない」ことです。例えば初項を1/3倍、2項を1/4倍するといったことはできません。

そのため添付した画像では、1/(n＋1)(n＋2)(n＋3)を部分分数分解すると分子が3になる→つまりnがどんな数でも必ず分子が3になるから、全ての項で1/3倍することで解決できる、という考え方をしております。

ハルミン

わかりやすいです。
何度も何度もありがとうございます。またお願いします

数学にわか

お力になれて良かったです✨