Question

たたた

写真の問題についてですが、なぜn≧3という条件があるのですか？n<3のときは、成り立たないのはなぜですか？
また、n≧3という条件が加えられている理由を教えてほしいです。

発向
98 部分積分法 (IV)
= sin" rdz とおくとき, 部分積分法を用いて,
DibHeard
精講
0
n-1
n
In= -In-2(n≧3) を示せ .
入試では頻出テーマですが,「部分積分法を用いて」の部分がかいて
ないことが多いようです。 結果を覚えておく必要はありませんが、
解答の流れは頭に入れておく必要があります.
解答
In=
= fusi
2 sinn-1x sinxdx=
TC
-[-sin' 'rcos z]*-*(n-1) sin"-"r(sin 1)' cos rdr
+
xdx
→合成関数の微分 62
TC
x
2
π
0
-1
- sin¹-¹x-(- cos x) dx
=(n-1) "sin"-2r.cos'rdz
=(n-1) fasin"-"r(1-sin'x)dz
=(n-1)(In-2-In)
∴.nIn=(n-1)In-2
(+1) golz
in In=(n-1) (In-2-Int
よって,In=n-1Inz(n≧3)
n

Answer 1

るいと

式の形を見ていただくとわかると思うのですが、示すべき積分漸化式はn番目とn-2番目の関係を記述しています。そして漸化式の項数は自然数であるので、n-2≧1でないと漸化式の項数に第0項(第0項に関しては許容する問題もあります)や第-1項といったよく分からない項が出てきてしまいます。このように、記述に矛盾が生じないようにn≧3という条件がついています。

また、n<3に関してはその漸化式は成立しません。上述のように漸化式の項数に自然数以外の数が出てきてしまうというのもありますが、sinxのマイナスn乗を積分していくことになりますので単純にn≧3のときと同じように部分積分で計算することはできなくなります。もちろん計算の仕方が変わる以上、上記の漸化式は成立しなくなります。