Question

奏音

数Ⅲ 複素数平面

下の写真1枚目の問題についてです。1枚目の写真は、途中式が記されています。
この赤マーカーのところの変化は、どの公式を使っているのでしょうか？
他2枚が、私の把握している公式です。
共役な複素数が等しいというのは、どういうことでしょうか？

初歩的な質問ですみません

よろしくお願いします

a,b,c,dを実数とし, α = 0 とする。 虚数αが3次方程式 ax+bx+cx+d=0の解であ
るとき
も同じ方程式の解であることを証明せよ。
答え
(証明)
「できた」 「できなかった」 を必ず選ぼう
ステップ 1 ○できた ○できなかった
αが解であることと、 等式の両辺の共役な複素数を考える
ax³ + bx² + cx+d=0
·(*)
αが (*)の解であるから, x=α を代入して
ax+ba²+ca+ d = 0 ・・・...①
①の両辺の共役な複素数を考えると,これらも等しいから、
aa³ + ba²+ca+d=0
・② 株点 2 共役な複素数 OK?
......
......
採点1
αが解である条件 OK?

共役な複素数
複素数 α=a+bi に対し
a=a-bi
をαに共役な複素数,またはαの
5 共役複素数という。α と について
a+ā=(a+bi)+(a−bi)=2a
aa=(a+bi)(a-bi)=a²+b²
20
10
15
これから,次が成り立つことがわかる。
-d=-a+bi b
a
よって
αが実数⇔ α=α
αが純虚数⇔ α=-α, α = 0
練習 複素数αの実部, 虚部をそれぞれαとで表せ。
1の証明 α=a+bi, β=c+di とすると
a+B=(a+c)+(b+d)i
a+B=(a+c)-(b+d)i
2
-a=-a-bi-b
問 22を証明せよ。
ya
a=a-bi=a+bi=a
が成り立つ。また, 複素数平面上の点について,次のことが成り立つ。
点 α は点 αと実軸に関して対称
点-αは点αと原点に関して対称
点-dは点αと虚軸に関して対称
=(a-bi)+(c-di)=a+B
2 a-Ba-B
a=a+bi
複素数 α,βの和や差の共役複素数について,次のことが成り立つ。
1 α+β=a+B
a
AX
複素数平面
a=a-bi
第1章

5
10
複素数 α, βの積や商の共役複素数について,次のことが成り立つ。
よって
3,4の証明 α=a+bi, β=c+di とすると
aß=(a+bi)(c+di)
また
3 aß=aβ
15 よって
=(ac-bd)+(ad+bc)i
=(ac-bd)-(ad+bc)i
aß=(a-bi)(c-di)
ab=aB
a
=(ac-bd)-(ad+bc)i
ac+bd ad-bc
c² +d²
c² +d²
a+bi
c+di) = {(a+bi) (c-di)
(c+di)(c-di)
ac+bdad-bc
c² +d²
4
ac+bdad-bc
+
c² +d²
i
c²+d²
@_a-bi_(a-bi) (c+di)
c-di (c-di)(c+di)
c² +d²
-i
a
B
a
B
a
a
(18) = 10/0
B B
【注意】3より,複素数αと自然数nについて, α” = (d)" が成り立つ。
問3a,b,c,d は実数とする。 複素数 α が方程式
ax²+bx+cx+d=0の解であるときも同じ方程式の解であ
ることを証明せよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Seifert-van Kampen

2,3 枚目のどの公式にも該当しません
1 枚目で利用しているのは， z,w を複素数としたとき
「 z=w ならば z¯=w¯」という性質です
（複素共役の記号が出せないので z¯ で z の複素共役と思ってください）

つまり両辺が等しければ，両辺の複素共役をとっても等しいということです

奏音

理解できました！
ありがとうございました