Question

G

ベクトルがよく分かりません
何故座標を設定するのか分かりません
ベクトルで問題のように単位ベクトルを設定して解く方法はよく使いますか？
またどういう問題に使うか教えて欲しいです

384
€¾ DMCAMPSNIORE
右の図の直方体で, OA=d, OB=1,OC=c, OP=1 と
する.
と a, , このなす角をα1, B1, 71 とするとき,
cos2d1 +cos2β1+cos2y1=1 であることを証明せよ.
考え方
解答
座標を導入して, 内積を用いて表す.
右の図のように, Oを原点とする直交座標を設定する.
x,y,z軸方向の単位ベクトルをそれぞれ ex=(1, 0, 0),
ez=(0, 1,0), es= 0, 0, 1) とし, p= (x,y,z) とおく
と,
p•ei=x=1・|p|cos α1
p•ez=y=1·|p|cos B1
pes=z=1・|p|cos Y1 …… ③
ZA
ANT
+cos2(90°-β2)+cos2(90°y) A
=sin?az+sin'β2+sin'yz
①' +②2+③^ より,
x2+y2+z=1D2(cos2an+cos2 B1+cos2y1) (084-
ここで,|pP=x2+y2+22≠0 より, cos2a+cos2 B1+cos²yｭ=1
IC
r1
072
P
注〉 例題 384 にあるとx軸,y軸、z軸のなす角 α1, B1, Y1 に対して, COS α1, COS P',
COSY1 をの方向余弦という. 例題384 だけでは何の意味があるかわかりにくいが,
cos'a+cos2 B1+cos' r1 = 1 から次のこともわかる.
(ア) OP と 平面 OBC, 平面 OCA, 平面 OAB のなす角をそ
れぞれ az, B2, Y2 とする. との関係は下の図のよ
うになるから, X₁+X2=90°
同様にして, α+αz=90°, B1+B2=90°
したがって, cos'a+cos2 B1+cos2Y1
=cos2(90°-α2)
=(1-cosaż)+(1-cos'β2)+(1-cos'yz)=1
UAO
A
IB
C
C
ni
0 B1
x A
内積を用いる.
0
a
ri
・B
/α
l' は l を平面αに正
y 射影した直線で,この
ときのが直線と平
面αのなす角である。
:平面αの
法線ベクトル
50
よって,
cos'az+cos2β2+cos'y2=2
(イ) OP のかわりに平面ABCの法線ベクトルについて考える。 平面ABCと平面
OBC,平面 OCA,平面OAB のなす角をそれぞれ Q's, B3, Y3 とする。
右の図より, Y = Y3 同様にして, α =α3, B1=B3
よって,
cos'as+cos2β3+cos2y3
平面ABCの
法線ベクトル
平面ABC
73
平面OAB
=cos'a'+cos2B1+cos2y1=1/①(
また, OBC, AOCA, △OAB はそれぞれ △ABCの
yz 平面, 2x 平面, xy平面への正射影より、
△OBC=△ABCcos α3, OCA=△ABC cos β3,
△OAB=△ABC cos Y3
よって, ① を用いると,
(△OBC)2 + (△OCA)^+(△OAB)²=(△ABC)2 (四平方の定理) が導ける。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

TAA

「なぜ座標を使うのか」という質問に関しては、
「その方法が一番楽に解けたから」としかいえません。

ベクトルの計算問題の場合大抵は座標を設定すれば解けますが、もしそれで解けなかったとしても別の方法を試せばいいだけです。

これはある程度慣れが必要で、問題をたくさん解いていくうちに「この問題はこれを使った方が良い」ということが瞬時に判断できるようになります。

それまでは色々な方法を試す→一番解きやすいものを選ぶというプロセスが大切です。

さて、単位ベクトルについてですが、これは「あるベクトルの特定方向の成分が欲しい」問題のときに「単位ベクトルの内積」という形で使います。

今回の場合、OPのx成分の長さOA,y成分の長さOB,z成分の長さOCを知りたいので「単位ベクトルの内積」を使うわけです。

なぜなら、図に書いたとおり

p•e=pのx方向の成分の長さ

となるからです。

G

丁寧に回答して頂きありがとうございます
とても分かりやすくて助かりました