Question

Hr

(2)の(i)の考え方を解説お願いします🙇🏻‍♀️書き込みは無視してください

数学Ⅰ・数学A
第3問 (選択問題)
(1) 袋Aを用いて, 次の操作を行う。
操作1
手順①
第3問~第5問は,いずれか2問を選択し, 解答しなさい。
41
8182
(配点20)
赤玉6個,白玉4個の合計10個の玉が入っている袋Aがある
48
61-49
される確率は
4
(i) 手順①で2個の赤玉が取り除かれる確率は
と白玉が1個ずつ取り除かれる確率は
袋Aから無作為に2個の玉を取り出し, 色を見ずにその玉を取り除
く。
手順② 手順①を行った後, 袋Aから無作為に1個の玉を取り出して色を記
録し、 元に戻す試行を2回行う。
A
カ
キ
Wave
10.
つ取り除かれていた条件付き確率は
である。
(i) 手順②で赤玉と白玉が1回ずつ記録される確率は
62
(ii) 手順①で2個の赤玉が取り除かれ、 かつ手順②で赤玉と白玉が1回ずつ記録
by
r
Ď
エオ
サシ
スセ
ア
イ
255
-3
- 24-
である。
手順②で赤玉と白玉が1回ずつ記録されたとき, 手順①で赤玉と白玉が1個ず
である。
ブザ
4
17
15
19
1521-1
そ
であり、手順①で赤玉
ク
ケコ
K
Corak
453
21-1
Tostas
である。よって、
office
33-45
(数学Ⅰ・数学A 第3問は次ページに続く。)
834
To: 70 5:55
45
248
4515
Y
(2)
nを自然数とする。 袋Aを用いて, 次の操作2を行う。
一操作2
袋Aから無作為に1個の玉を取り出して色を記録し、 元に戻す試行をn回行う。
(i)n=10 とする。 操作 2 を行ったとき, 赤玉がん回記録される確率を
P(k=0, 1,.., 10) と表す。
太郎さんと花子さんは, Paが最大となるようなkの値について考察してい
る。
4515
太郎:Pが最大となるkの値を求めたいけど、 すべてのkについて Ph
を求めるのは大変だね
花子:k=0, 1, ..., 9に対して, Pk と Path との比を考えてみたらどう
かな。
k=0, 1, …, 9に対して
Ph+1=
Ph
k+タチ
テ
数学Ⅰ・数学A
ツ k+
が成り立つので, Pk <Pk+1 が成り立つようなんの最大値は
たがって, Phはk=ナのとき最大値をとる。
125
(ii)n=2023 とする。 操作 2 を行ったとき, 赤玉がん回記録される確率を
Qk(k=0, 1, ..., 2023) と表すと, Qはk=ニヌネノのとき最大値をとる。
128
-25-
ト である。 し
125
この問題冊子を裏返して必ず

(ii) n=2023 とする。 操作2を行ったとき, 赤
と表すと,Qx は k= ニヌネノ のとき最大値をとる.
解説
以下,事象 X, Y に対し, XとYの積事象を
XOY, 事象Xが起こる確率をP(X), 事象Xが
起こった下で,事象が起こる条件付き確率を
Px(Y) と表記する.
(1) 手順①で2個の赤玉が取り除かれる事象を
A1, 赤玉と白玉が1個ずつ取り除かれる事象を
A2, 2個の白玉が取り除かれる事象を A3 とし,
手順②で赤玉と白玉が1回ずつ記録される事象を
Bとする.
(i) 10 個の玉をすべて区別したとき, 取り除く
玉の組合せは 102=45 (通り) であり,これらは
同様に確からしい。
このうち, 事象 A1 が起こるような組合せは
6C2=15 (通り) であり, 事象 A2が起こるような
組合せは 6.4=24 (通り) である.
よって, 事象 A が起こる確率は
6C2
P(A.)=C₂=100
3
であり、 事象 A2 が起こる確率は
8
P(A2)=-
6.4
102 15
である.
ゆえに
(ii) 手順①で2個の赤玉が取り除かれたとき, 袋
Aには赤玉が4個, 白玉が4個入っている. した
がって
PA1 (B)=2C1.
44_1
88
2
dettst
P(A∩B)=P(A)Pa,(B)
である.
20
1|31|6
(ii)(i) と同様に考えると
P(A3) 4C2
10C2
140x7
であるから
=1/12/1/201
32
である.
手順①で赤玉と白玉が1個ずつ取り除かれたと
き,袋Aには赤玉が5個,白玉が3個入っている。
また,手順①で白玉が2個取り除かれたとき,袋
Aには赤玉が6個, 白玉が2個入っている。よっ
て
53
PA2 (B)=2C1. 88
62
PA2 (B)=2C1- 88
20 STOG
15
180P(A₂NB)=-
であり
P(A∩B)=-
8 15 1
15 32
4
15338
_7
15
32
23 1
15 8 20
である。
手順①で起き得る事象は A1, A2, A3 の三つの
みで,これらは互いに排反である。ゆえに
1 1
+ +
6 4 20
P(B)=P(A∩B)+P(A∩B)+P(A∩B
SOA
47
PB(A2)=P(A2∩B)_15
P(B)
28

お
である.
(2) 袋Aから無作為に1個の玉を取り出すとき,
赤玉が取り出される確率は 13, 白玉が取り出さ
くと
2
れる確率は1/3である。
以下,カ=-
(i) 0 回の試行で赤玉がん回記録される確率 Ph
(k=0, 1, ., 10) は
Ph=10Ckpq10-k.
であるから,k=0, 1, ..., 9に対し
Pk+1 10Ck+1pk+1 go-k
Pk
10Ck pq 10-k
13132,4=12/23 とおく。
q
P+1
Ph
10!
(k+1)!(9-k)!
が成り立つ。
Pk <Pk+1, すなわち
-3k+30
2k+2
q
310-k
−2+k+1² (2-3/5-2² x D)
より)
-3k+30
2k+2
10!
k!(10-k)! DQ10-k
P+1>1をkについて解
Ph
->1
k!(10-k)!¸p
10!
-3k+30>2k+2 ( ≧0より)
2023!
k! (2023-k)!
5k<28
k<5.6
となるから, Pk<Pk+1 が成り立つようなんの最
大値は5である.また, k6のときはPh>Pk+1
が成り立つので
Po<P₁<<P5<P6
Po>P>・・・ > P10
となる.ゆえにPkはk=6のとき最大値をとる.
(ii)(i)の方針を振り返って考える.
2023 回の試行で赤玉がん回記録される確率
Q (k=0, 1,..,2023) は
Qk=2023Ckpq2023-k
が
2 g 20
2023-k
であるから, k = 0, 1, ..., 2022 に対し
Qk+1
くと
_2023Ck+1 pk+1g2
2023Ck pq2
2023!
(k+1)! (2022-k)!
3 2023-k
2
k+1
-3k+6069
2k+2
が成り立つ。
QkQk+1, すなわち Q11 について解
で表すと
2022-k
2023-k
Qk+1 -3k+6069
->1 (4)9)
2k+2
3k+6069>2k+2≧0より)
5k<6067
nCr
である.
k<1213.4
となるから, Q<Qk+1 が成り立つようなんの最
大値は1213 である。 したがって
OLH
Q <Q <•••<Q11 <Q1214
Q1214 > Q1215･･･ > Q2023
が成り立つので, Qはん=1214のとき最大値を
とる.
基礎事項の確認
1°《組合せ》
n個の異なるものから, (順序は問題にしない
で) 異なるr個を取り出して1組としたものを,
n個のものからr個取った組合せといい, その総
数を
nCr=
k! (2023-k)! D
2023!
q
n!
r!(n=r)!
2°《確率》
ある試行で、起こりうるすべての場合の数がn
で,どの場合も同様に確からしいとする。そのう
ち,事象Aの起こる場合の数がんならば、 Aの起
こる確率P(A) は