Question

tattu-

すごく当たり前のことを聞いていたらすみません。黒い線で囲まれた部分の赤とピンクの蛍光色の部分がわかりません。方冪の定理でなぜOX•OA=OY•ODが示されると接線の長さが等しいのでしょうか。

を意味する.
良問
【基礎 0.3.9】 (1995TOT 秋 JO 間4)
三角形 ABC の LA の二等分線と辺BCの交点を
M とし, LA の外角の二等分線と直線BC の交点を
N とする. また, 三角形 ABCの外接円の点Aにお
ける接線と 直線BC の交点を K とする. このとき
MK =KN を証明せよ。
B
db
A
M /CK
となり, MK AK が得られる.
また, LCAN = LNAD より
a
D
N
解答図のように,線分 BA のAの方向への延長上
に点Dを取る. 接弦定理より LCAK = LABM で
ある. LBAM=LMAC より
LKMA= LBAM + LABM =外角
= LMAC + LCAK = LKAM
LKNA + LABM = LNAD = LCAN
=LKAN+LCAK
ba
b
であるので, LABM=LCAK 各辺から引いて
LKNA = LKAN が得られる. したがって AK =
KN である. これと MK = AK より MK =KN
がわかる.
0
0
注 Kは直角三角形 AMN の斜辺の中点で, その
外心である.
【基礎 0.3.10】 (1995TOT 春 SA 問3)
台形の互いに平行でない2辺を直径とするふたつの
円を考える. 台形の対角線の交点がこのふたつの円
の外にあるとき、 対角線の交点からふたつの円に引
いた4本の接線の接点までの線分の長さは、 すべて
等しいことを証明せよ.
解答 AD // BC である台形 ABCD の 対角線の交
点をOとする. また AB を直径とする円と直線
AC の A 以外の交点を X とし, CD を直径とする
円 T2 が BD と交わる D以外の点を Y とする.
同じ円に対する2本の接線の長さは等しいの
で, 0 から T1, T2 に引いた接線の長さが等しい
ことを示せばよい。それには、方の定理から。
OX-OAOY･OD を示せばよい。
三角形 AOD と COB は相似であるから,
OC
OB
である.
また三角形 OBX と三角形 OCY は相似である。
(なぜなら LXOB = LYOC, LOXB = LOYC =
OC OY
であり、ゆえに
OB OX
つまり OX-OA = OYOD となり
0
90° である) よって =
OA OY
OD OX'
証明が完了した。
B
A
AS
OA
OD
D
C
●アポロニウスの円
2定点A,B までの距離の比が一定値k (≠1) で
ある点Pの軌跡は CD を直径とする円である. こ
こで C, D は直線AB上にあり、符号付き長さで
AC:CB=AD: DB を満たす2点である. このC.
DをA,Bの調和共役点と呼ぶ.

数学オリンピック 数学 方冪の定理

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

カルロス

点OからΓ1に引かれる2本の接線（の長さ）をm1, n1、Γ2に引かれる接線（の長さ）をm2,n2とします。

問題は4本の接線の長さが等しいことを示すことを求めているので、これらが全て等しいことを示すことになります。

（1.ピンク）
同じ円に対する2本の接線の長さは等しい、
（もしここがわからなかったら「円　接線」などでググってみてください。それでもクリアにならなかったらコメントください。一応参考になりそうな画像のURL貼っときます
https://www.google.co.jp/search?q=%E5%86%86%E3%80%80%E6%8E%A5%E7%B7%9A&authuser=2&prmd=inv&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwi14r34rbn8AhVgm1YBHZGRAjgQ_AUoAXoECAIQAQ&biw=375&bih=548&dpr=2#imgrc=zwxSNNsukaPWtM&imgdii=r-Zk1ZhR61W5NM）

つまり
m1=n1 かつm2=n2
なので

m1=m2 ⇒ m1=n1=m2=n2

になります。言い換えると

m1=m2
ならば
4本の接線の長さは全て等しい

ということです。

（2.赤）
方べきの定理（がもしわからなかったらこれでも読んでください
https://manabitimes.jp/math/845）
から

m1² = OX•OA, m2² = OY•OD
です。

したがって

OX•OA = OY•OD
⇒
m1² = m2²
⇒
m1 = m2

です。

ピンクと赤を合わせると

OX•OA = OY•OD
⇒
m1² = m2²
⇒
m1 = m2
⇒
m1=n1=m2=n2

です。

tattu-

いつもありがとうございます！
めっちゃ助かります！