Question

あやね

回答の青のカッコの部分はなぜ1を足してuで置き直しているのでしょうか？
そのままs=12u'+15を代入してしまいました
書き込みが汚くてすみません

数学Ⅰ・数学A 第3問~ 第5問は,いずれか2問を選択し,解答しなさい。
第4問 (選択問題)(配点20)
〔1〕
(1) 不定方程式
X=
X=
と表せる。
38 24
12x-19y=1
を満たす整数x,yの組のうち、 xが正で最小になるものは
ア
y=
9
イ
であるから,この不定方程式の整数解はんを整数として
ウエ k+
ア, y=オカ k+
イ
16
と表せる。
575114
105
=
オカ t+
イ
2
38 397
19
60
96
(2) 整数 s, tを用いて
z= ウエ s+
と表せる整数zについて考える。
このように表せる整数のうち,正で最小のものはキクである。また,
このように表せる整数zをすべて求めると, uを整数として
z=ケコサu+ キク
4
76
12/1
4
19
9.

解説
〔1〕 (1)
12x-19y=1 ...... ①
19=12+7であるから, ① は
12(x-y)-7y=1
のように変形できる.
この式から
x-y=3, y=5
すなわち
x=8, y=5
が①を満たすことが分かるので
12・8-19・5=1 ......②
が成り立つ。
① - ② より
12(x-8)19(y-5)=0
12(x-8)=19(y-5)
となる。 1219は互いに素であるから, 不定方
程式 ① の整数解は整数kを用いて
x-8=19k, y-5=12k
x=19k+8, y=12k+5
と表せる.
したがって不定方程式 ① の整数解のうち､ xが
正の整数で最小になるのはん=0のときの
x=8, y=5
であり, 不定方程式 ① の整数解はんを整数として
x=19k+8, y=12k+5
と表せる
(2) s, tを整数として
z=19s+8=12t +5 ...... ③
と表せる整数zについて考える. そのためにまず
19s+8=12t+5
を満たす整数 s, tの組を求める.
この式は
12t-19s=3 ...... ④
と変形できるので, ④②×3より
12(t-24)-19(s-15)=0
12(t-24)=19(s-15 )
となる。 12 19 は互いに素であるから, 不定方
程式 ④ の整数解は, 整数 μ' を用いて
s-15=12u', t-24=19u'
s=12u'+15,
と表せる.
また, u=u'+1 とおくことで
s=12u+3,
t=19u+5
t=19u'+24
も表せる.
s=12u+3を③に代入すると
z=19s+8
=19(12u+3)+8
=228u+65
となる.
したがって, ③を満たす整数ぇのうち,正で最
小となるのはu=0のときの65である。 また,
③を満たすz をすべて求めると, uを整数として
z=228u+65
と表せる。
|補足|
(1) ① を満たす整数解の一つは, ① から即座に
x=8, y=5と見つけられれば変形する必要はな
「
自
26
一方で, 12 (x-y) -7y=1を満たす x,yの組
が見つけられない場合は, 12=7+5であること
から
5(x−y)+7(x-2y)=1
とさらに変形すると見つけやすくなるだろう.
この式から
x-y=3,xx-2y=-2
すなわち
x=8, y=5
が①を満たすことが分かる.
b]S=V
〔2〕(1) 7進法で表されたNは α, b,c を用
いて
N = ax7°+6×7°+c ...... (*)
と表せる.
また仮定より, dを整数としてa+b+c=2d
と表せるので, c=2d-a-bを(*)に代入して
N=ax76+bx7³+c
広
=ax76+bx7³+(2d-a-b)
=2d+(76−1)a+(7³−1)b
=2d+(7³−1){(7³+1)a+b}______

整数の性質 数ⅰa 共テ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Yudai

ケコサ(228)がキクを超えないようにするために、s tで互いに素より切片が大きいうちに変形すると良いため

あやね

あらかじめキクが2桁であることがわかってる(そのまま代入したらキクが3桁になってしまう)から青カッコのようにするということでしょうか？

あやね

そうだと考えると、u=u'+1が、+1であるのはなぜですか？😭😭
答えに関わる数字だと思うのですが+2や、+３でダメなのはなぜでしょうか、、、

Yudai

○u+◁が　◁が○より大きいため、　◁は○より小さくするから1になるのだと思います。

あやね

理解できました！！
ありがとうございました🙇‍♀️