Question

ほのか

(3)がよく分からないです。
この問題の解き方を噛み砕いて教えていただきたいです。お願い致します。

日〉
東京理科大 理工〈B方式 -2月4日〉
13 正の定数a (a ≠1) に対して, 2次関数f(x) を
EELTE
f(x)=az (1-m)
と定める。 曲線 C:y=f(x) の点 (10) における接線をl1, 直線y=-x をl2と
する。 曲線Cのx≦1の部分と2直線l1,l2 で囲まれる部分の面積をSで表し, ま
たこの部分を軸の周りに1回転してできる図形の体積をV で表す。
is
(1) 直線l1,l2の交点の座標をaを用いて表せ。
(2)Sをaを用いて表せ。
1
+ 1²
(3)定数a は a>1を満たすものとする。 2直線l1,l2 とæ軸で囲まれる部分をェ
(4)
軸の周りに1回転してできる図形の体積をU で表すとき,
ART. []
[2][14.
をαの1次式で表せ。
lim (a - 1)2 V の値を求めよ。
a+1+0
1)
53001 >>
IYONG
@
30a³
(a − 1) 4 π
@
2
2015年度 数学 15
28²
(V-U) [
T8308-4**#
(4) && [p]
18,800 Ap
四象 20-
(30点)

56 2015年度 数学(解答)
200+1
--5[+log.x-- (p+1) ²l
・loga-
5
(p+1)=
5
+1) 2
5
(カ+1) 2
5
(p+1) 2
lim =0 より
+0 U
+5
70+1
p+1
5 (2p+1) _p+1
r(p+1) 2
e
2p (e)
ap+1
(p+1)
1
+5
({p + 1 ( - 2 ) - (0 + 1 ) ² } 0 = 2²
5
lim S = lim
p+0 p→+( (カ+1) 2
東京理科大 理工 (日方式 2月4日)
・・0=5 ......(答)
813 8
0
(10) Py a et
bga = loge?
loga=esja = -le
logar
(1²p+D /e <ED S
e
pl
a= e =)
<解説>
《導関数, 不定積分,面積, 極限値≫
(1) f'(x)の計算には,積の微分公式を用いる。 f'(x)=0(x)を満た
すはただひとつ決まる。
(2) 対数関数を含む多くの関数の不定積分には部分積分法を用いる。
1
(3) 面積は公式の通り。 Sの式を簡単にするために, loga=--
11/3を用
を用いる。
Þ
lim Sを計算するために, lim -=0が使える形に変形する。
→+0 u
3 解答 a>0, a≠1に対して f(x) = ax (1-x)
(1) f(x)=a(x-x)より f'(x)=a(1-2x)
0324ORY!
(1) = -4より, A(1,0)におけるC:y=f(x)の接線の方程式は
y=a(x-1) ...... ①
東京理科大 理工〈B方式-2)
2015年度 数学 <解答> 57
一方, k2y=-x ･･････ ② だから, 2直線ム, の交点のx座標は, ①.
②より
-a(x-1)=-x (a-1)x=α ......
③D
a=1.③ より
a
a-1
2直線の交点Bの座標は
x=-
B
3(²-1 0-1)
254a-1'
(2) (i)0<a<1のとき, Sは図1の斜線部分の面積だから
s-3-1-(-2-1)-1-a²(x-1)
{-ax (x-1)}dx
a (a + 2)
2(a-1)-(1-0)=
6 (a-1)
(i) 1 <a のとき, Sは図2の斜線部分の面積だから
>
S=
a
+ S₁ {−ax (x²
(1-0)³=
(i)(ⅱ)より 求める面積Sをaを用いて表すと
MUJ
a(a + 2)
DEL
50C
6 a-1
・・･1・・
S=
2
a
a-1
Pl
a
+
2 (a-1) 6
{-ax(x-1)}dx
a (a + 2)
6 (a-1)
4²1
1₂
･･････(答)
tat
√(x-2)(x-3) dx
SULO
9
YA
a
a-1
図 1
図2
HAWN SOUS
(3) α>1とする。 曲線Cと直線y=xとの交点のx座標は
ax (1-x) = x
x{ax- (a-1)}=0
原点以外の交点の座標は
a-1 a-
a
--7(p-x)²
WOE
曲線Cのx≦1の部分と2直線で囲まれる部分をx軸の周りに1回
-20
ing
a
し

58 2015年度 数学<解答>
転してできる図形の体積がVである。
一方,2直線
とx軸で囲まれる部分をx軸
の周りに1回転してできる図形の体積がひだか
ら V-Uは
{(x,y) xsy=f(x), 0≦x≦
ゆえに
{a_1}?
をx軸の周りに1回転してできる立体の体積であ
る。
9-1
v- U= √²^ r {ƒ (x) ³²dx = ² x (ª=¹)³²a=1
1 (a-1²a-1
π
3
東京理科大-理工〈B方式-2月4日)
YA
30a³
(a-1) ¹π
分からない
=x²-²-²/² + ²3 (1)
1
3.
π
2 5
a
=xa² ²* (x² - 2x² + x¹) dx = (ª−1)²-0)
2
a
(x2-2x3+x4)
3
a
a
④より V-U=
π/a1\3
･⑤
(a-1) ¹
30g
a
1/a-
πa-
= x²({ } (ª = ¹)² - 1¹/(ª−¹)² + } (ª =))-3(²-4)
a
a
U=
v- ( 9 )² ²-²( ²1 ) ( ²1-1)
a-1
(a+4)
0
a
y=f(x)
日
30a5
a-
- (V-1) = (308) + {² (²7¹)² - 1/2 (²1) + (-1)}
a
a
a
y=-f(x)
(10²-15a +6 (a-1)}-a-1
10
(a−1)
_=10 (a +1)-15a+6 (a-1)
= a + 4
(4) UはOを頂点とする円錐から,Aを頂点とする円錐を除いた図形の
体積だから
27
TONSKI
y=x
y=
10a³
(a-1) 4 a
0 = {(I-s)-xalx
議
東京理科大 理工
(-1) ²
一方、⑤より
⑥⑦より
lim (a
1+0
≪面積, 回転・
(1) 2直線-
きは第2象限
(2) 0<a<1
(3) Vそのも
2つの円錐の
(4) この問い

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

TAA

まず(2)の図2がこうなることはよろしいでしょうか。

a>1のときのVというのは、図2(写真では(a))をx軸について回転させたときの体積で、概形は写真の(b)のようになります。

Uというのはl1,l2,x軸で囲まれた図形(写真の(c))を回転させたときの体積で、概形は写真の(d)のようになります。

＊(1,0)を頂点とする円錐型の空洞が存在してます

V-Uは、写真の(b)から(d)との共通部分を引いたもので、(e)のようになります。

＊(0,0)を頂点とする円錐型の空洞が存在してます

これは、実質のところ写真の(f)のように、y=xとy=f(x)で囲まれた部分を回転させたときの体積となるので、解答の下線部が引いてあるような不等式が成立します。

このような回転体の問題ではまず初めに

・回転体を作る図形を明確に把握する

・図形を軸に対して反転させる

を意識すると簡単にイメージがつかめます。

ほのか

遅くなってしまいすみません！ありがとうございます