Question

たんぽぽ

指数方程式の解の個数の問題です
解説読んでも理解できません
教えて欲しいです

08
3
180 x の方程式 4-α・2x+1+α+2=0が次の条件を満たす解をもつような定数
αの値の範囲を求めよ。
(1) 異なる2つの実数解
(3) 異符号の解
(2) 異なる2つの正の解
p.310 問題180

₂+b)²-2ab
字 t の範囲
のとき
ab
=bのとき
x≧2で
つときであ
より左
に対応す
汝とxの
ラフから
シ
対1
を調べ
(t>0)
点の個
。
図180xの方程式 4 α2x+1 + α +2=0が次の条件を満たす解をもつような定数αの値の範囲
を求めよ。
(1) 異なる2つの実数解
(2) 異なる2つの正の解
4*-a2x+1+a+2 = 0 ･･･ ① とおく。
2*=t とおくと, 4=t2, 2x+1 = 2t であるから
t²-2at+a+2=0
... 2
①は
(1) x が実数のとき, 20 すなわち t > 0 であり, t = 2* を満たす
x は、t>0であるtに対し1つ存在する。
よって, xの方程式 ① が異なる2つの実数解をもつのは,t の2次方
f(t) = f-2at+a+2 とおくと
程式 ②がt> 0 の範囲で異なる2つの解をもつときである。
f(t) = (t-a)²-a²+a+2
N
t=a
y=f(t) のグラフがt軸とt>0 の範囲で2点
で交わるのは,次の [1]~[3] を満たすときであ
る。
[1] f(t) = 0 の判別式を D とすると
D =a² - (a + 2)
D > 0
²- (a +2) > 0 より
(a+1)(a−2) > 0
よって
a<-1,2 <a
[2] y=f(t) の軸がt> 0 の部分にある。
y = f(t) の軸は t = a であるから
[3] f(0) > 0 であるから
f(0)=a+2>0
a> 0
5 a>1
[3] f(1) > 0 であるから
y = f(t) のグラフがt軸とt>1の範囲で2点
で交わるのは,次の [1] ~ [3] を満たすときであ
る。
[1] D>0 であるから
a<-1,2 <a
[2]y=f(t) の軸がt>1 の部分にあることか
F
よって
a>-2
⑤
③~⑤ より 求めるαの値の範囲は
a>2
-2-10
2 a
(2) x>0 のとき, 2^1 すなわちt>1 であり, t = 2* を満たす x は,
t> 1 であるtの値1つに対して x>0 の値が1つ存在する。
よって,xの方程式 ① が異なる2つの正の解をもつのは,t の2次方
程式②が1より大きい異なる2つの解をもつときである。
(3) 異符号の解
t=2x
X
つかめるのは次の(1)(2)
XV
t=a
4
4章 指数関数
1

f(1) = 1-2a+a+2>0
a <3
(8)
求めるαの値の範囲は
よって
⑥~⑧ より
2 <a <3
123
(3) x の方程式 ① が異符号の解をもつのは,t の2次方程式 ② が
0 <t<1,1 <t のそれぞれの範囲で解をもつときである。
y = f(t) のグラフがt軸と 0 <t<1,1<tの
範囲で1点ずつ交わるのは,次の [1], [2] を満
たすときである。
[1] f(1)<0であるから
a> 3
[2] f(0)>0 であるから a>-2
⑨,⑩0 より 求めるαの値の範囲は
a>3
9
.. 10
-2
3
a
a
t>0 に注意する。
グラフが下に凸である
ら, f(1) <0 のとき
式D は D > 0 となる