第4問 (選択問題)(配点20)
2
(1) 432を素因数分解すると
|ア
432= 2x3
である。
また,432 の正の約数は全部でウエ個ある。
この例について,花子さんと太郎さんは,次のように話している。
花子:自然数の正の約数の個数は素因数分解すれば求めることができるね。
太郎:では,正の約数の個数が与えられたら自然数って決まるのかな。
花子:一つには決まらないよ。 例えば, 6の正の約数の個数も、8の正の約数
の個数も同じ4個だよ。
太郎 : 432 に自然数を掛けた数だとどうかな。
花子: 考えてみよう。
太郎さんと花子さんは,次の問題をつくって考えることにした。
180
問題 N を2桁の自然数とする。 432N の正の約数の個数が50個となるよ
うな N を求めよ。
510
2008
25-
3
(数学Ⅰ・数学A 第4問は次ページに続く。)
7.2
220
4/5
4
ア
432 は 432 = 2
3
イ
×3と素因数分解できるから
3①
N = 2°×3 ×n
ただし,a,bは0以上の整数,nは2,3と互いに素である自然数とおいて考える。
n=1のとき,a,bの組は
(a,b)=(オ
と求められ, N = キクである。
n=1のとき,Nは全部で ケ個あり,最大の N は N = コサである。
A
9
カ
012
(1) 432を素因数分解すると
| 432 24.33
よって, 432 の正の約数の個数は
(4+1)(3+1)=20 (個)
A
2
次に, 432N の正の約数の個数が50個となる N を求める。
N=2ª.3b n
(a,bは0以上の整数 nは2,3と互いに素である自然数)
とおく。
n=1のとき 外国
.....
80
←この式に代入する。
432N=24.33×2.36
2a+4.36+3
CINCAN
よって, 432N の正の約数の個数は
DIK
(a+5) (6+4) 個
A
であり, 50=2.52 であるから
(a+5)(6+4)= 2.52
ここで, a+5≧5,6+4≧4であるから
(a+5, b+4)= (5, 10), (10, 5)
5 (a, b) = (0, 6), (5, 1)
これを満たす素数nは
(a,b) = (06) のとき
N=2°.3°=729
(a,b) = (51) のとき
N = 25.3'=96
Nは2桁の自然数であるから, (a,b)=(5,1), N = 96
n=1のとき
SSF 053
100
432N = 2a+4.36+3.n ・B]
よって 432N の正の約数の個数は
(a+5)(6+4)個 (ただし,cは2以上の自然数) ････A
(a+5)(6+4)c=50=2.52 であり, a+5≧5,6+4≧4 であるから
(a+5, b+4, c) = (5, 5, 2)
すなわち (a,b,c) = 0,1,2)
よって、nは2, 3以外の素数である。
N=20.3.n=3nが2桁の自然数であるから
10
すなわち ≤n≤ 33
3
5,7,11, 13, 17, 19, 23, 29,31
であるから, N は全部で9個あり,最大のNは
N = 3.31 = 93
|A
約数の個数
自然数Nを素因数分解した結果
N=pª qb pc......
・...... であるとき,
Nの正の約数の個数は
3DSN
(a+1) (b+1) (c+1)...
......
構想 ・ 洞察力
d914
432N の素因数が2,3のみの場合
と、2,3以外の素数が含まれる場
合とで,正の約数の個数を表す式が
異なる。 このことに着目して場合分
けをしている。
Coup, da 58410208
JAKASTAROGSO: 104855T
cars
2573522-
B
n=1の場合は素因数がいくつも
考えられる。正の約数の個数が
50=2.52 であることから,素因数
分解したときの形だけが決まる。
ATTENTION !
Nが2桁であることからnに制
限があることに注意。
なるほど。詳しく解説ありがとうございます。