重要 例題 7 展開式の係数 (3) (多項定理の利用) 開
(1+x+x2) の展開式における, x3 の項の係数を求めよ。
CHAI
CHART
OLUTION
多項定理を利用して, (1+x+x2) の展開式の一般項を Ax” の形で表すと
7!
-x9+2r
となる。
p!g!r!
ここでp,g,rは整数でp≧0,g≧0, r≧0, p+g+r=7… ①
xの項であるから
g+2r=3
そこで,①,②から,か,g,rの値を求める。
p,g,rの文字3つに対して、 等式が p+g+r=7, g+2r=3の2つであるが,
0以上の整数という条件から, p,g,rの値が求められる。
......
解答
(1+x+x²) の展開式の一般項は
7!
7!
か!g!z!.1.x (x2)=
p!q!r!
p!q!r! x 9 +2r
p,g,r は整数でp≧0,g≧0, r≧0, p+g+r=7
xの項は g+2r = 3 すなわち g = 3-2r のときである。
g≧0から 3-2≧0
よって
r=0,1
q=3-2r, p=7-g-rから
r=0 のとき q=3, p=4
r=1のとき g=1, p=5
(p, q, r)=(4, 3, 0), (5, 1, 1) OF IT-SE
すなわち
ゆえに,xの項の係数は
+
00000
7!
7!
7.6.5
4!3!0! 5!1!1! 3･2･1
別解 (1+x+x2)={(1+x)+x2}7 の一般項は
+7・6=35 +42=77
基本6
3-g
r=2¹
1²• x²(x²)¹=x²x²r
=x9+2r
<p> 0,g> 0, r> 0 とカ
ン違いしないように。
r は 0 以上
の整数から,g=1,3と
してもよい。
1x9+2r=x3 を満たす α,
rは2組ある。
← 0!=1|
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◆二項定理を用いて解く
1章
1
3次式の展開と因数分解, 二項定理
