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Litaと円x2+y2=16 について,次のものを求めよ。
重要 例題 96 放物線と
放物線 y=
(1) この放物線と円が接するときの定数aの値
(2) 4個の共有点をもつような定数αの値の範囲
CHARTO SOLUTION
放物線と円
共有点
この問題では, x を消去して, yの2次方程式
接点
実数解
4(y-a)+y2=16 の実数解, 重解を考える。
なお,放物線と円が 接するとは,円と放物線が共通の接線
をもつときで,この問題の場合,右の図から,2点で接する
場合と1点で接する場合がある。
解答
(1) y=2x+a から x=4(y-a)・・・・ ①
ただし, x2≧0であるから
yza
①をx2+y2=16 に代入して
4(y-a)+y²=16
よって y'+4y-4a-16=0.③
[1] 放物線と円が2点で接する場合
2次方程式 ③は重解をもつ。
③ の判別式をDとすると
D=2²-(-4a-16)=4a+20
重解・・・・・・
の中心
0
a=-4
D = 0 から
a=-5
このとき,③の重解はy=-2 であるから②に適する。
[2] 放物線と円が1点で接する場合
図から,点(0, 4),(0, -4) で接する場合で
[1],[2] から,求めるαの値は
a=±4, -5
放物線と円が4個の共有点をもつのは,上の図から, 放物
の頂点が,点(0,-5) と点 (0, -4) を結ぶ線分上 ( 端点を
除く)にあるときである。
って、求める定数aの値の範囲
a=-5
x
a=±4
inf. a=4のとき
x2+4y-32=0
すなわち(y-4)(y+Bl
から,y=4(適), 8
で重解をもたない。
しかし,
|x² + y²=16
連立方程式で,yを消去
ると
+ x² +
整理して
JJJ² x ² (x²+48)=0
|= 16
この4次方程式は、2重
x=0 をもつから,点(
で接していることがわかる
同様に, a=-4 のときい
についての4次方程式を
と外
x-16x2=0
1
15
円
C
解
2つ
のス
する
直糸
よ直
直
よりよい
4
[1
[2
IT
