まず言葉の意味を確認しましょう
虚数・・・実数でない複素数
複素数・・・虚数単位i,実数a,bを用いて"a+bi"と表される数。このとき、aを「実部」、bを「虚部」という。
つまり、「虚数α,β」とあるので、
α=a+bi, β=c+di (a,b,c,dは実数)・・・①
と置けます。
続いて、「実数」は、虚部が0です。
例) √2=√2+0i, 15=15+0i
つまり、「α,βの和と積がともに実数」というのは、「α+β, αβの虚部がともに0」と言い換えられます。
最後に、「αとβは互いに共役」とあります。複素数における共役とは一方が"x+yi"(x,y:実数)と表される時、他方が"x-yi"と表されることでしたね。
つまり、①に照らし合わせると、
c=a, d=-bであってくれれば、
α=a+bi, β=a-bi
となり、αとβが共役だと言えます。
つまり、まず証明すべきは、
c=a, d=-b
ですね。
これで十分ヒントは与えました。さっそく証明を書いてみましょう。
<証明>
α=a+bi,β=c+di[a,b,c,dは実数]とおく
α+βが実数なので
α+β=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)iから
b+d=0…①
αβが実数なので
αβ=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)iから
ad+bc=0…②
①より d=-b…①'
②より -ab+bc=0
b(c-a)=0
b=0またはc-a=0
b=0またはa=c
ここでαは虚数なので
b=0のときα=aからαは実数になるから
b=0は成り立たないことより
a=c…③
そして①③より
α=a+bi,β=a-bi
ここでαとβは互いに共役である
☆ポイント☆
α,βを具体的に文字で表すことによって実数ならば虚数部分=0という等式を利用します
ありがとうございます🙇♀️✨
理解できました！
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