最大公約数、最小公約数の問題です。

数学

高校生

解決済み

1年以上前

yk.m

最大公約数、最小公約数の問題です。

模範解答も、自分自身の解答もしっくりきません。

Ga’+Gb’=G(a’+b’)の、a’+b’が素数になる理由もよく分かってないけど、どんな数字当てはめてもそうなるので、そうなるとしかいえません()

どなたか助けてください、、

50 2つの自然数a,b (a < b) の和が132, 最小公倍数が336であると〈福岡大〉き, 最大公約数とα, bを求めよ。 49 最大公約数最小公倍数 α, b の最大公約数をGとすると a=Ga', b=Gb' (a', 6' は互いに素)と表せる。 a+b=132 から Ga'+G6' =132 ... G(a'+6')=12×11 また, 最小公倍数L=336 から L=Ga'b'=336=12×28 1128 は互いに素だから最大公約数は 12 また、α'+6'=11, α'b' = 28 だから α′,6′はt2-11t+28=0の解である。 (t-4)(t-7)=0 ∴ t=4, 7 a<bより α'=4, 6′=7 よって, α = 4×12=48 b=7×12=84 ....... 1² (35) 8.15 α'と6' が互いに素であるとき互いに素である。これの意味、必要性 6'11-α′ を α'6'=28に代入 4 JS POS して解くと a' (11-α')=28 よりアドバイス ●2つの数1218の最大公約数は6だから 12 = 6×2,186 × 3 と表せる。ここで、大切なのは最大公約数6に掛けられる2と3は互いに素であることだ。 ●このように、2つの自然数 α, b について, 最大公約数がGであるとき, (a'-4) (a'-7)=0 a'=4, 7 a=Ga' b=Gb' a=Ga', b=Gb' と表せる。ただし,α', 6' は互いに素である。 ●このとき Tazas 最小公倍数は L=Gα'b', a, b の積は ab= Ga'×G6' =LG と表せる。 2つの自然数a,bの最大公約数と最小公倍数 G.C.D. = G (最大公約数) L.C.M.=L ( 最小公倍数 ) これで解決! 互いに素 L=Ga'b', ab=LG ■練習49 (1) 3桁の自然数が2つあり, その和が756, 最大公約数が84 である。このような自然数の組をすべて求めよ。 (2)a,bは自然数で, a≧b とし, a + b は a, bの最大公約数の5倍に等しく,6ab 倉敷芸科大> 〈津田塾大〉はαの最小公倍数の2乗に等しい。このとき, a b を求めよ。角アア LY 解練

149 9 2/132 2)66 3)33 a+b=132 L = G a'b' = 336 a acb. Q₁. G₁z³ Q₂ axb₁2? 解)最大公約数をGとすると、 ao Gả l bị Gb a= b= b' kes. (α'x b' (2 2₁11-) 条件より、 a + b = Ga² + Gb' = G(a²'+b') = 132 l'i Gx (a't b') =12x11 2 283. Ga'とGb'から共通因数Gをくくり出して、和の形にしたもの、つまり alth は素数になるので、 b' 最大公約数は1といえる。 Itz, ferk & KL rx 336 viazi L = G⋅ α²b = 12.28 x 2203. 12.28と表せる。 a'+b' = 11₁ a: b' =28 € 11 (312, arbd", 01-4. b'=7 である。 $₂2. a = Ga² = 12x4 = 48 b = G₂ b = 12 x 7 = 24. ad

回答

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maple

1年以上前

a'+b'が素数とは限りません。ここではたまたま素数なだけです。

〈分かること〉
・G(a'+b')=132
・Ga'b'=336
・a'とb'は互いに素

これだけだと、a'とb'を特定できません。
G=4、a'+b'=33、a'b'=84とかもできそうですよね。
ですが、これではダメです。
ここで必要になるのが、「a'+b'とa'b'は互いに素」ということです。
これを使えば、G(a'+b')=2²×3×11、Ga'b'=2⁴×3×7より、G=2²×3=12、a'+b'=11、a'b'=28と分かります。