Question

nami

なぜ丸で囲んだ部分のような与式が立つのでしょうか。

111 関数 f(x)=x-3x+16 がある。 y=f(x)のグラフをCとし,C上の点P(t, f(t)) におけると
の接線をl とする。
(1) f'(x) = 0 を満たすxの値を求めよ。
(2) 関数 f(x) の極大値および極小値を求めよ。 また,接線l の方程式を求めよ。
(3)
とする。 0 (0, 0), A (10) とし,接線ℓと軸の交点をB, 接線ℓと直線 x = 1 と
の交点をCとするとき、 四角形OACBの面積Sをtを用いて表せ。 また, S の最大値を求めよ。
(2017年度 進研模試 2年11月 得点率42.5%)

111
20点 (14点 (27点 (3)9点
(1) f(x)=x-3x+16 より
f'(x)=3x2-3」2
=3(x²-1)
=3(x+1)(x-1)
したがって,f'(x) = 0 とすると
x=-1, 1」2
(2) (1)より、関数f(x) の増減表は次のようになる。
-1
0
7 極大
x
f'(x) +
よって, f(x)の極大値は
極小値は
www
1
0
極小
∫(-1)=-1+3+16 18」 1
・・・･・･・
y-(-3t+16) = (3t² − 3)(x-t)
y (31³-3).x-2³ +16 13
+
> J2
j(1)=1-3+1614」 1
また①より、点P(c, r-34+16) における接線!
この方程式は

(3) 接線ℓ の方程式に
x=0 と x=1 をそれぞれ
代入し,
B, Cの座標を
求めると
B(0, -2t³+16),
C (1, -2t3+3t2+13)
0≦t≦1より
-21³ +16 > 0,
よって
=-2+
-21³ +21² +29
t
dS
dt
S
をとる。
-2t3 +3t² + 13 > 0
また、 四角形OACB は台形であるから
s={(−2t³+16)+(-2t³+3t²+13)}·1
S=-2.(
0
29
2
4
2.
:
22
+
ya
dS
-6t²+3t=-3t (2t-1)
dt
したがって 0≦t≦1におけるSの増減表は次の
ようになる。
1
2
B
0
14
極大
よって,Sはt = 1/12/2 のとき最大値
3 3
s-2-(1/2)+1/12/12/2+12/07
--1+3+29-18712
16
|
29
P
」2
t 1
A
1
14
J2
C
J3
x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

●問いが「四角形ＯＡＢＣの面積Ｓをtで表し」となっているので

　Ａ(1，0)，Ｏ(0，0)が既知なので，{Ｂ，Ｃ}の座標をtで表し

　台形である事から、(1/2)×(上底＋下底)×高さを用いて

　四角形ＯＡＢＣの面積Ｓ＝－2t³＋(3/2)t²＋(29/2)　とtを用いて表し

●さらに「Ｓの最大値を求めよ」となっているので

　Ｓがtの3次関数で表されていることから

　　tについて微分し、範囲と増減を考えて最大値を求めようとした

　　結果の　微分　dＳ/dt　です

補足

　一応、三次関数の最大最小を微分を用いて求める事

　　　を学習済みであることが前提の問題です

nami

なぜSをtで割るのでしょうか。また、dという文字はどこからきたのでしょうか。

mo1

「dＳ/dt」という記号は、「関数Ｓをｔで微分する」という意味の記号です

それを、分数等と区別するために、ｄがついているようなものです

●例えば、

　y＝3x²＋5x　を　xで微分すると

　dy/dx＝6x＋5　のような感じです

教科書等では、「dy/dx」の他に「y'」などと表わす場合もあります

nami

そうなんですね!!
最後までわかりやすい説明をしてくださってありがとうございました😆