Question

るん

この計算の仕方が分からないので、教えてほしいです。
答え2枚目です。

(2) f(x)=13"+f'(x-t)f(t)dt を満たす関数 f(x) は, f(z)=13z‘+
である。
8

@f(x) = 13x² + 8
+-x
5
35
9
5

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

f(x)＝13x⁴+∫(x-t)f(t)dt
このうち、∫(x-t)f(t)dtを分解すると、
＝x∫f(t)dt-∫tf(t)dt
となります。
この式が何を表しているかというと、∫～dtの部分は定積分なので数字に変わるため、xの一次式になります。

というわけて
∫f(t)dt＝a
∫t(f(t)dt＝b　とおくと、
f(x)＝13x⁴+ax-b
と置き換えることができます。

a＝∫[x＝0～1]13t⁴+at-bdt
　＝[13/5t⁵+at²/2-bt][0～1]
　＝13/5+1/2a-b
→　1/2a+b＝13/5…①

b＝∫[x＝0～1]13t⁵+at²-btdt
　＝[13/6t⁶+at³/3-bt²/2][0～1]
　＝13/6+1/3a-1/2b
→　-1/3a+3/2b＝13/6…②
①②を解いて、
a＝8/5、b＝9/5（イ～オ)

るん

ありがとうございました🙇