Question

夜桜

(2)の最後の問題で、答えが何故10になるのかが分かりません(´・ω・｀)

47
難易度
目標解答時間
15分
SELECT
9060
花子さんの住んでいる町内で毎年行われているクリスマス会では,参加者全員にスナック菓子
一袋ずつ配ることになっている。 今年は、花子さんがスナック菓子を買うことになり、1年前のク
マス会を知っている人に話を聞いた。
1年前は、参加者は30人で, スナック菓子は, 3袋入りの箱と7袋入りの箱の2種類で売られて
3袋入りをa箱,7袋入りを6箱買うと,30人全員に1袋ずつ残さず配ることができたという。た
a,b はともに0以上の整数とする。 このことから
3a+7b= アイ
...1
オ), カ
が成り立ち, ①を満たすa, bの組(a, b) は, (a,b)=(ウエ
組だけ存在する。
(1) 花子さんは,参加者が何人であれば, 3袋入りと7袋入りの箱をうまく組み合わせて買うこと
スナック菓子を参加者全員に1袋ずつ残さず配ることができるかに興味をもった。 参加者全員
袋ずつ残さず配ることができない場合について考えよう。
3袋入りをx, 7袋入りを箱買うとする。 ただし, x,yはともに0以上の整数とする。
(i)yが3の倍数のとき, y = 31 (10以上の整数)と表すと
3x+7y=ク
(x+ケ
1)
であり, 3x+7y と表される数は
コ 以上の3の倍数すべてである。
(ii)yを3で割った余りが1のとき、y=3l+1 (Zは0以上の整数)と表すと
(ただし,
t
+ (x+
1+
ス +
サ
3x+7y=
であり, 3x+7yと表される数は3で割った余りがソである整数のうち,
すべてである。
233119
(yを3で割った余りが2のとき, (i), (ii) と同様に考えると, 3x+7y と表される数は3で
た余りがチである整数のうち,ツテ 以上のものすべてである。
(i) ~ (i)より, 3x+7y (x, y はともに0以上の整数) と表されない自然数は全部でト個ある
すなわち, 3袋入りと7袋入りの箱をどのような組み合わせで買ったとしても、参加者全員
袋ずつ残さず配ることができない参加人数は全部でト
|通りある。
(2) 今年は別のスナック菓子を買うことにした。 そのスナック菓子は2袋入りの箱5袋入りの
セ
タ 以上の
2種類が売られており, 中身のパッケージのデザインも異なっていたため、クリスマス会を
げるため, 2袋入り 5袋入りのどちらも1箱以上買うことになった。
このとき2袋入りと5袋入りの箱をどのような組み合わせで買ったとしても、スナック菓
参加者全員に1袋ずつ残さず配ることができない最大の参加人数はナニ人である。 (配点
公式解法
7
する
L
と
0
[C]
G

e
よう
を3で割った余りで
ることにより、
3□△△は文字
いるより小さい定
変形して、3x+7y
数を求める
3x+7y=3x+7(32+2)
x 1はともに0以上の整数であるから, x+71+4 と表される数は4以
上の整数すべてである。
したがって, 3x+7y と表される数は3で割った余りが2である整数の
うち 14 以上のものすべてである。 C
(i) ~ (ii) より
.0以上の3の倍数はすべて 3x +7y と表される。
・3で割った余りが1である自然数のうち, 3x+7y と表されないのは 1,
4 である。
故
・3で割った余りが2である自然数のうち, 3x+7y と表されないのは 2,
5,8, 11 である。
したがって, 3x+7y と表されない自然数は全部で6個ある。
すなわち, 3袋入りと7袋入りの箱をどのような組み合わせで買ったと
しても、参加者全員に1袋ずつ残さず配ることができない参加人数は全
部で6通りある。
(2) 2袋入りをX箱, 5袋入りをY箱買うとする。 ただし, X,Yはとも
に自然数とする。
(i) Yが偶数のとき, Y=2m (m は自然数) と表すと
2X +5Y=2X+5.2m=2(X+5m)
X,mはともに自然数であるから, X+5m と表される数は6以上の
整数すべてである。 D
したがって, 2X +5Y と表される数は12以上の偶数すべてである。
(ii) Yが奇数のとき, Y=2m-1は自然数)と表すと
Point
2X +5Y=2X+5(2m-1)=2(X+5m-3)+1
X,mはともに自然数であるから,X+5m-3 と表される数は3以上
の整数すべてである。
F
したがって, 2X +5Y と表される数は7以上の奇数すべてである。
(i), (ii)よりよいので、と
・偶数の自然数のうち,
ある｡
・奇数の自然数のうち, 2X +5Y と表されないのは 1, 35 である。
したがって, 2X +5Y と表されない最大の自然数は10であり 求める
人数は10人である。
これまでの過程を振り返
え方を利用しよう
Yを2で割った余りで
ることにより、
2X41
2+△△は文字を
より小さい定数
変形して, 2X +5Y と
数を求める。
-α)は3の倍数であ
3の倍数。さらに
素であるから
の倍数であるから、
つ倍数。 さらに,と
であるから 10-q
C
x+71+4=4 のとき
--7-4-s
E
2X +5Y と表されないのは2,46,8, 10 で
- 83 -
3x+7y = 3・4+2 =
D
X≧1, m≧1
X+5m≧1
E
X+5m=6の
2X+5Y=
F
X≧1,m≧
X+5m-
G
X+5m-3 =
2X+5】
#YJMUŠICA*ctsNTO
Point
・
TƏN 4TH
a,b (a < b)を自然数の定数とするとき, ax+by (x,yは0以上の
整数)と表される数をすべて求めるには,yをaで割った余りで分類
して考えるとよい。 y を新たな文字で表すときは,新たな文字のとり
得る値の範囲に注意すること｡
求められ
ST
発展的に
整数を
考える
それを
る。