Question

Hi（受験生）

最後５行がわかりません。どういうことでしょうか？？

36. 〈等式の証明〉
実数x≧0 y≧0, z≧0 に対して x+y=y+z=z+x² が成り立つとする。この
とき x=y=zであることを証明せよ。
[18 札幌医大 医]

36 〈等式の証明〉
3つの等式を変形し、辺々を掛けることで (x-y) (y-z) (z-x) = 0 を導く。
x+y=y+z² から
y+z=z+x²から
x-y= (z+y) (z-y)
y-z=(x+2)(x-2)
z-x=(y+x)(y-x)
******
x=y=z
y=z, z=xのときも同様にして x=y=z
******
ztx=x+y² から
① ② ③ を辺々掛けて
(x-y) (y-z) (z-x)= (z+y)(z-y)(x+2)(x-2)(y+x) (y-x)
すなわち
(x-y) (y-z) (z-x)(1+(y+z) (z+x)(x+y)}=0
x≧0 y≧0,c≧0であるから 1+(y+z) (z+x)(x+y)≧1
ゆえに
(x-y) (y-z) (z-x)=0
よって
x=y または y = z またはz=x
ここで, x=y のとき, ③ に代入して
x=0
よって
①
******
z-y=-(y-z),
x-z=-(z-x),
y-x=-(x-y) から,
辺々を掛けた等式は因数分
解できる。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

み

(x-y)(y-z)(z-x)×{1+(y+x)(z+x)(x+y)}=0(✳︎ とする)で、1+(y+x)(z+x)(x+y)>=1ということは
✳︎ならば(x-y)(y-z)(z-x)=0となるしかないですよね

簡単な例で考えれば、(x^2+1)(x+1)=0のとき、x^2+1>=1なのでx+1=0となる

というかんじですかね。

Hi（受験生）

理解できました、ありがとうございます。