Question

もち

この証明の仕方はあっていますか？

Exercise
-2x-1 が x>0 において f(x) > 0 を満たすことを証明せよ。
77 f(x) = x² +2ex - 误
f'(x) = 2x-20²² +2e-²²
f'(x) = 2 +26*²_4e-2x
==2(26²²² e ²-1)
=-2 (20¹1) (e ²-1)
= 2 (2e²+ 1)(1-e²x)
x>0において
20x20 /-ex>0 "199"
f" (1) >0
( 愛知教育大 )
f(0) =
=-2+2=0
f'(2) 12 x > 0 1 no 15
f(x)は入口で単調増加
#1 = f() = 2-1-1=0
X>0 (= 21'117
f(x) > 0
より

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ふぃる

文字で書いていってもいいですがややこしくなってしまうなら増減表を2回書いた方が良いと思います。
つまり、f''(x)の符号を調べてf'(x)の増減を表す増減表を書き、グラフを書く(簡単でいい)。そして、そのグラフを元にf'(x)の符号を調べてf(x)の増減を表す増減表を書き、グラフを書く。そうすればx＞0でf(x)＞0になることが分かりやすいです。

言葉だけで書くなら以下の通りです。
f'(x)＝…＝2x－2e^(－x)＋2e^(－2x)
f''(x)＝…＝2(2e^(－x)+1)(1－e^(－x))
x>0において、0＜e^(－x)＜1より、2e^(－x)+1＞0、1-e^(－x)＞0
したがってf''(x)＞0
f'(0)＝…＝0 よって、x＞0において、f'(x)＞0
f(0)＝…＝0 よって、x＞0において、f(x)＞0

となります。

Answer 2

なむる

少し記述が微妙ですね。最後の
「f'(x)はx>0で単調増加だからf(x)はx>0で単調増加」は明らかに論理の飛躍です。
例1)f(x)=(x-1)²のf'(x)はx>0で単調増加ですが、グラフを描けばわかるように明らかにf(x)はx>0で単調増加ではありません。
例2)f(x)=log(x+1)のf'(x)はx>0で単調減少ですが、グラフを描けばわかるように明らかにf(x)はx>0で単調増加です。
このように、f'(x)が単調増加であることはf(x)が単調増加であることの必要条件でも十分条件でもありません。

正しい論理の流れは、

x>0でf''(x)>0だからf'(x)はx>0で単調増加
このこととf'(0)=0より、x>0でf'(x)>0
だからf(x)はx>0で単調増加である。

となります。