Question

マシンまじか

一の位が０でない２桁の自然数Aがありこの数の十の位の数字と一の位の数字を入れかえた数をBとする。ルートA+BとルートA-Bがともに自然数になるとき、Aの値を求めなさい。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぺんぎん

＿x、yを、共に0ではな1桁の自然数として、A=10x+y、B=10y+x、と置く。
＿n、mを0ではない自然数とする。
＿A+B=(10x+y)+(10y+x)=11✕(x+y)……①
　A-B=(10x+y)-(10y+x)=9✕(x-y)=3²✕(x-y)……②
よって、②より、(x-y)は、0か、n²で表される数。また、x≧y。そして、①より、(x+y)は、11✕m²で表される数。
＿x、yは、共に0ではな1桁の自然数なので、最大値は、x=y=9。最小値は、x=y=1。
＿よって、２≦(x+y)≦18となり、11✕m²を満足するmは1のみ。
＿(x+y)=11、x≧yより、(x=9，y=2)、(x=8，y=3)、(x=7，y=4)、(x=6，y=5)が考えられるが、これらの内、(x-y)は、0か、n²で表される数、を満たすのは、(x=6，y=5)のみ。
＿従って、A=65、B=56。
＿検算、√(A+B)=√(65+56)=√121=11。
　√(A-B)=√(65-56)=√9=3。
＿答え、A=65。

マシンまじか

ありがとうございます