数学
高校生
青線引っ張ってるところがなぜこうなるのか分からないので、解説お願いします
* 87ページ : Try (受験問題集) 506)
心をA', AOCAの重心をB', △OAB の重心をCとする。AがP(1,0,0)とQ(0, 2,0)を結ぶ線
を原点とする座標空間において四面体OABCを考える。 △ABCの重心を0', OBCの重
分の中点, BがQとR(0, 0,3)を結ぶ線分の中点, CRとPを結ぶ線分の中点であるとき,四
面体OABCの体積Vと四面体O'A'B'C' の体積V' を求めよ。
改)
3)
すると
es)
あるとき成分
)
すると
るとき成分
506 OA = d, OB=1, OC = C とおく。
a,
c
点 O′ は△ABCの重心であるから
a+b+c
3 (0)
また, 点A'は △OBCの重心であるから
OA' =
00-
よって
=
O'A=0A-00
b+c
3
=
b+c_a+b+c= -1 a
3
3
3点P,
るから、
3
同様に
(STO'B' = -13-6,
12/26,00
O'C = - 1/21/20
よって, 四面体OABC と四面体 O'A'B'C' は相似
で,相似比は3:1である。
3点A, B, C はそれぞれ PQ, QR, RP の中点で
あるから
SUNGAI 1
AABC = |APQR
R は 3点 A, B, C と同一平面上にあ
Q,
OPQR 四面体OABCは高さが
四面体
217
共通である。その高さをんとし,四面体 OPQR の
体積を W とすると
V =
また
=
=
よって
=
W =
=
1
4
W
4
1
3
1
3
h hABC
●
1
X
hAPQR
XAOPQ XOR
M
APQR
12
2
x1x2x3 = 1
V =
V = 1
V'
27
したがって
四面体OABCと四面体 O'A'B'C' は相似で,相似
比が3:1であるから,体積比は
33:1³ = 27:1
W
4
V
=
1
4
=
1
1
X
27 4
1
108
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